Суть і послідовність врівноваження параметричним способом
При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:
1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;
2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.
Елементами геодезичних мереж є вимірювані на місцевості горизонтальні кути, довжини ліній, перевищення між точками, введемо наступні позначення (k<n):
1) Yj (j = 1, k) - дійсні значення шуканих параметрів або необхідних невідомих;
2) y* j (j = 1, k) - зрівняні значення параметрів;
3) yj (j = 1, k) - наближені значення параметрів;
4) tj (j = 1, k) - поправки в наближені значення параметрів;
5) Xi (i = 1, n) - дійсні значення елементів мережі;
6) x*i (i = 1, n) - зрівняні значення елементів;
7) vi (i = 1, n) - поправки у виміряні значення елементів мережі;
8) aij (i = 1, n; j = 1, k) - коефіцієнти параметричних рівнянь поправок;
9) li (i = 1, n) - вільні члени параметричних рівнянь поправок;
10) Pi (i = 1, n) - ваги результатів вимірів.
При врівноваженні параметричним способом складається система параметричних рівнянь поправок
де - матриця коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок розміром k*n;
- вектор поправок до вектора наближених значень параметрів yj;
- вектор вільних членів системи параметричних рівнянь поправок l= f(y1, y2 ., yk) - xi;
- вектор поправок до вектора виміряних елементів мережі xi.
Вирішення системи параметричних рівнянь поправок полягає у відшуканні вектора поправок Т до наближених значень параметрів
yj (j = 1, k) за умови
де - вагова матриця або матриця вагів результатів вимірів розміром n*n.
Для відшукання min функції необхідно прирівняти до нуля її першу похідну і вирішити отримані рівняння. У нашому випадку:
З системи параметричних рівнянь поправок виходить, що
Покажемо, що умова
Рівносильно умові
Отже:
Помножимо рівняння AT + L = V зліва на і отримаємо:
або враховуючи умову
Отримана система k рівнянь з k невідомими параметрами tj називається системою нормальних рівнянь. Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь має вигляд:
Отримана матриця:
1) квадратна матриця порядку k;
2) симетрична матриця;
3) позитивно визначена рангу k;
4) неособлива.
В результаті вирішення системи нормальних рівнянь отримуємо поправки tj до наближених значень параметрів yj, а потім по формулі
y*j = yj + tj зрівняні значення параметрів. Поправки vi до виміряних значень елементів мережі xi обчислюються за формулою:
Потім обчислюються зрівняні значення елементів мережі:
Контроль вирішення системи нормальних рівнянь обчислення поправок vi і зрівняних значень x*i і y*j виробляється по формулі:
тобто по зрівняних значеннях параметрів ще раз обчислюють зрівняні значення елементів мережі.
Недотримання цієї контрольної рівності може відбуватися із-за помилок в обчисленнях або унаслідок недостатньої точності наближених значень параметрів yj. У першому випадку необхідно відшукати і виправити помилки в обчисленнях. У другому випадку зрівняних значень y*j слід набути як наближені значення і з ними повторити весь процес зрівнювання.
Ознакою недостатньої точності наближених значень параметрів є недопустимо великі значення поправок tj. У цих випадках не можна нехтувати нелінійними членами розкладання функції в ряд Тейлора при обчисленні коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок.
Оцінка точності при парметричному методі врівноваженні.
Визначення середньої квадратичної погрішності одиниці ваги. Визначається по формулі:
де n - число виміряних величин;
k - число необхідних вимірів.
Середня квадратична похибкам визначення m обчислюється за формулою:
Величина [pvv] або може бути знайдена різними шляхами:
1) по алгоритму Гауса - при вирішенні системи нормальних рівнянь до основної системи NT + L = 0 додається ще одне рівняння
2) Знов отримана система k+1 рівнянь з k+1 невідомими зберігає всі властивості нормальних рівнянь, причому останній діагональний елемент Тому після виключення всіх невідомих ti отримаємо:
2) по обчислених поправках v - обчисливши поправки V = AT + L, де А - матриця коефіцієнтів рівнянь поправок. Обчислимо величину [pvv] за формулою:
3) по значеннях вільних членів l в рівняннях поправок і поправках v - знаючи поправки v в результати вимірів і вільні члени l рівнянь поправок знайдемо [pvv] по формулі:
або
Обчислення середніх квадратичних похибок зрівняних значень параметрів.
Виразимо невідомі Т у вигляді лінійних функцій вільних членів нормальних рівнянь за допомогою зворотної матриці:
Позначимо Тоді
Тобто
Для будь-якого ti можна записати
У параметричному способі зрівнювання елементи зворотної матриці Q є ваговими коефіцієнтами. При цьому всі діагональні елементи Qij завжди позитивні і називаються квадратними, а Qij = Qji, тобто матриця симетрична. Середня квадратична погрішність зрівняного значення параметрів
Yj* (j = 1,k) обчислюється за формулою:
Вагові коефіцієнти Qij визначаються вирішенням системи рівнянь N·q - E = 0. Для цього в таблиці вирішення нормальних рівнянь по алгоритму Гауса додаються стовпці з коефіцієнтами одиничної матриці. Наприклад, для i = 1 маємо:
Після завершення всіх перетворень обчислимо Q11, Q12 і Q13 також, як і невідомі. При цьому замість графи L використовується додаткова графа Q1j. Використовуючи коефіцієнти нормальних рівнянь можна довести, що зворотна вага j-того параметра визначається по формулі:
Тоді
Обчислення середньої квадратичної погрішності зрівняних значень виміряних величин.
Середня квадратична погрішність обчислюється за формулою:
де Pfi - вага зрівняного значення виміряної величини xi*.
Виразимо xi* через зрівняні значення параметрів Yj*
і визначимо коефіціенти
Наприклад,
Зворотна вага функції 1/Рf обчислюється безпосередньо в графові F за допомогою вагових функцій fi, узятих із зворотним знаком. Крім того:
Обчислення коефіцієнтів кореляції між зрівняними значеннями параметрів.
.
Висновок
Геодемзія (у перекладі з грецької -- «землерозділення) -- наука про методи визначення фігури і розмірів Землі, зображення земної поверхні на планах і картах і точних вимірювань на місцевості, пов'язаних з розв'язанням різних наукових і практичних завдань.
Виділяють вищу геодезію (вивчає фігуру, розміри і гравітаційне поле Землі, а також теорію й методи побудови опорної геодезичної мережі), топографію та прикладну геодезію (використання методів і техніки геодезії для розв'язання спеціальних вимірювальних завдань у різних галузях господарства).
Геодезія тісно пов'язана з математикою, фізикою, радіоелектронікою, радіотехнікою, геофізикою, астрономією, картографією, географією, геоморфологією.
Геодезичні побудови створюються для забезпечення єдиної системи координат і висот, для визначення взаємного положення точок, що знаходяться на земній поверхні, під і над нею. При цьому об'єкти можуть бути нерухомими (рівновага об'єктів) або знаходиться в русі.
Врівноваження забезпечує:
1) однозначне визначення параметрів геодезичної побудови;
2) підвищення точності визначення елементів і параметрів побудови.
Зрівнювання геодезичних побудов виконується в тих випадках, коли:
1)відомі вихідні дані, яких вистачає для обчислення визначуваних параметів побудови;
2 ) виконано n вимірів, причому n>k (k - число необхідних вимірів);
3) серед виміряних n елементів побудови є k величини, необхідні і достатні для відшукання визначуваних параметрів.
Основними є два способи зрівнювання:
1) параметричний спосіб (спосіб необхідних невідомих);
2) коррелатний спосіб (спосіб умов).
Окремі способи зрівнюваннями, що мають свої назви, є видозміни або різні комбінації цих способів (зрівнювання вимірів однієї величини, групове зрівнювання, параметричний спосіб з надлишковими невідомими, спосіб умов з додатковими невідомими і ін.)
Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.
Список використаної літератури
1) Геодезія. Підручник. Частина друга / А. Л. Островський, О. І. Мороз, В. Л. Тарнавський; За заг. ред. А. Л. Островського. Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2008. 564 с.
2) Вища геодезія. Підручник/ Савчук С. Г. - Житомир, 2005. - 315 с.
3) Геодезія. Підручник. Порицький. 2007.-260с.
Страницы: 1, 2
