(22)

Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давлений в фиксированных точках пласта (б)

Рис. 1.

Г.И.Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбензона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение, которое может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решений.

Для его получения рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. Необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

(23)

При начальных граничных условиях

p2 = pk2 при t =0, 0 < r < ?

р2 = рk2 при r = ?, t > 0. при r = 0

Г.И.Баренблаттом показано, что в такой постановке давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные - r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, pk, k/(2зm0), Qатpатз/(рkh).

Если обозначить размерность длины через L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

[r]=L, [t]=T, [pk]=[p], [k/(2зm0)]=L2/[p]T, [Qатpатз/(рkh).]= [p]2.

Среди этих параметров - три с независимыми размерностями: r, t, pk (k=3). Как следует из П-теоремы, искомая функция - давление, приведенное к безразмерному виду F=p/pk, , будет зависеть от двух безразмерных комплексов (n-k=5-3=2). Такими безразмерными комплексами являются следующие:

и ,

т.е. F=p/pk=F(о,л).

Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (23) , получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(24)

при этом начальные и граничные условия сводятся к следующим:

при о=0; F(о,л)=1 при о=? (25)

Уравнение (24) при условиях (25) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл.1 для значений л=0,01 и л=0,004994. Через о* в табл.1 обозначено такое значение аргумента о, что для о< о* значения оdF2/dо, отличаются от л меньше, чем на 0,01%. Значит, для о< о* можно считать, что оdF2/dо= л.

Проинтегрировав это равенство, получим:

F2=F2(о*, л) + лln(о/ о*)

или

F(о, л) = [F2 (о*, л)- лln(о*/о)]Ѕ для о< о*.

Поэтому значения F(о, л) для о< о* в табл. 1 не приведены.

Таблица 1

Результаты численного расчета автомодельного решения

1.3 Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

Этот метод основан на следующих предпосылках:

- в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;

- движение внутри возмущенной области стационарно;

- размер возмущенной области определяется из условия материального баланса.

Решим этим методом ту же задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Qат, но будем считать радиус скважины конечным и равным rc.

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R(t), внутри которой давление распределено по стационарному закону

(26)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние):

p = рk, r>R(t) (27)

В возмущенной области можно написать также выражение для дебита для стационарной фильтрации:

(28)

В рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

Найдем из формулы (28) отношение

и подставим его в формулу для давления в возмущенной области (26).

В результате получим распределение давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта:

(29)

Для нахождения R(t) составляется уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при р = рk) в зоне пласта радиусом R(t):

(30)

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

(31)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

(32)

Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом Qат, то отобранная масса газа к моменту t равна сатQатt. Таким образом,

М0-мt= сатQатt

или, с использованием (30)-(31), найдем:

(33)

Подставив в последнее соотношение выражение (32) для средневзвешенного давления и (28) для Qат, получим:

или (34)

Для значений времени, для которых имеем:

(35)

Теперь, зная закон движения границы возмущенной области в виде (34) или (35), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (29), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени

р=рк, (36)

(37)

Формулы (36) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого и закрытого пласта радиусом Rk. В последнем случае они справедливы только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т.е. для

Изменение давления во второй фазе зависит от граничных условий пласта. Если пласт закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая границу. Если пласт открытый (р=рк или r=Rk, т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией pk-pc где:

при x = L (42)

Как и в методе последовательной смены стационарных состояний принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

p12=p102, при x = l(t) (43)

Центральным моментом в рассматриваемом методе усреднения является принятие условия

равносильного предположению, что во всей части пласта, охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью; тогда уравнение (39) принимает вид

(44)

Проинтегрировав это уравнение дважды по х получим:

(45)

Использовав граничные условия на галерее (41) и на границе возмущенной области (43), в результате получим

(46)

Для нахождения зависимости l(t) проделав ряд преобразований уравнения (39) получаем

Откуда (47)

Подставив выражение l(t) в формулу (46), получим зависимость давления, от координаты и времени.

В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта (l=L) закончится первая фаза.

Для определения ее продолжительности :

(48)

Можно найти приближенное значение T из формулы (47) и убедиться, что погрешность не превышает 3-4%.

В течение второй фазы давление на границе x=L падает и выполняется условие (42). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения давления по пласту:

(49)

и закон изменения давления на галерее:

(50)

2. Расчетная часть

В расчетах принимаем:

- k = 0,29М10-12 м2

- h = 6 м

- rc=0,08 м

- Rk=300м

- з=1,2М10-5ПаМс

- Pk=13,8МПа

- m0=0,2

- t = 1час =3600с

- дебит Qат , из условия, что л=0,004994.

2.1 Расчет депрессии на пласт по точной формуле и по приближенным формулам

Подставив наши данные, получим:

определим коэффициент

2.1.1Точное решение

Определим безразмерную величину о для r = rc

Сравнивая полученное значение о со значениями в таблице 1 для л=0,004994 заключаем, что о < о* поэтому безразмерное давление F определим по формуле

.

Выразив давление P=Pc, получим

Pc= FPk = 0.996М13,8М106 = 13,7М106 Па

Депрессия на пласт через 1 час будет равна:

?P = Pk-Pc = (13,8-13,7)М106 = 0,1 МПа.

2.1.2 Расчет по линеаризованной формуле

Подставляя наши данные в формулу (22), определим забойное давление Pc через 1 час

Депрессия будет равна:

? P= (13,8-13,55)М106=0,25 МПа.

2.1.3 Расчет методом последовательной смены стационарных состояний

Депрессия будет равна:

? P = (13,8-13,54)М106=0,26 МПа.

2.2 Относительная погрешность расчетов

1. Расчет по линеаризованной формуле:

2. Расчет методом последовательной смены стационарных состояний:

Вывод

Линеаризованная формула эффективна только в тех случаях, когда радиус скважины очень маленький, потому что в этом случае воронка депрессии очень крутая и давление по всему пласту в целом не сильно отличается от начального. Но при больших радиусах скважины эта формула будет давать большую погрешность, т.к. давление по пласту будет сильно отличаться от начального. В отличие от линеаризованной формулы, формула последовательной смены стационарных состояний эффективна для любых радиусов скважин, но только для первой фазы движения, т.е. пока воронка депрессии не достигнет радиуса контура. Как показали расчеты наиболее точной является линеаризованная формула.

Литература

1. К.С. Басниев и др. «Подземная гидромеханика». М. Недра. 1993г.

Страницы: 1, 2