,(10)

гдеR - радиус тоннеля; ?i - отклонение фактического положения стенок тоннеля от окружности; Si - расстояние от прибора до наблюдаемой точки; X - расстояние от прибора до центра тоннеля по оси Х; Y - расстояние от центра тоннеля до горизонтальной оси прибора по оси Y; ?i - угол между направлением на центр тоннеля и наблюдаемой точкой. Учитывая, что

; (11)

,(12)

где ? - угол между горизонтом инструмента и направлением на центр тоннеля;

, если ,(13)

где ?i - измеренный угол между горизонтом инструмента и визирным лучом на точку I и, если . (14)

При этом необходимо выбрать знак координат X и Y. В дальнейшем будем считать величину Y положительной, если центр прибора расположен ниже оси тоннеля, X - величиной положительной, если центр прибора расположен слева от оси тоннеля, как показано на рис.3.

Уравнению (10) будут удовлетворять лишь уравненные значения, причем измеренные или приближенно известные величины (далее выделены их волнистой чертой сверху) и уравненные связаны следующими равенствами:

.

С учетом этих представлений приведем уравнение (10) к линейному виду относительно поправок в измеренные величины, но в начале определим зависимость между поправками в ?i и ?i. С учетом (12) из уравнений (13) и (14) получим:

, если ; (15)

, если . (16)

В свою очередь, поправку V? получим из уравнения (11), представив его в виде:

,(17)

где. (18)

Следовательно,

при ? > ?i,(19)

при ? < ?i. (20)

Запишем уравнение (10) через измеренные значения и поправки к ним:

(21)

Разложим уравнение (21) в ряд Тейлора и, полагая, что искомые поправки достаточно малы, ограничиваясь первыми членами разложения, с учетом (19) и (20) при ? > ?i получим:

(22)

а при ? < ?i:

(23)

Введем обозначения: при ? > ?i:

при ? < ?i:

остальные коэффициенты остаются без изменений.

С учетом принятых обозначений условные уравнения примут вид:

. (24)

Измеренные значения углов ?i и расстояний от дальномера до стенок тоннеля Si, представлены в табл.1.

Зная проектное значение радиуса тоннеля R = 255 см, высоту пола h1 и высоту инструмента h2, можно вычислить приближенное значение величины

: .

В нашем случае h1 + h2 = 232 см, следовательно, = 23 см. В соответствии с ранее принятым расположением осей координат, величину вычислим по горизонтальным расстояниям S1 и S7:

. (25)

Из табл.1 находим, что S1=188,5 см, S7=318,0 см, следовательно,

=64,8 см.

По приближенным координатам оси инструмента вычисляется угол :

и углы .

Затем вычисляются коэффициенты аij. по приведенному выше алгоритму.

Известно, что деформации колец тоннеля - величины сравнительно малые, и в первом приближении примем со средней квадратической ошибкой 3 - 4 см. На примере расчета далее показано, что такой подход позволяет вычислить необходимые деформационные характеристики, однако у него имеются и некоторые недостатки. При уравнивании результатов измерений подобных схем измерений под условием (8), поправки к приближенным отклонениям фактического положения стенок тоннеля от окружности, по сути, являются собственно отклонениями, так как принято, что . Далее рассмотрен иной подход к обработке результатов измерений.

По приближенным координатам оси инструмента вычислим угол

: и углы, которые отражены в табл.1 (?i).

Найдем невязки li по формуле:

и затем представим их в виде матрицы L.

Составим матрицу обратных весов, используя средние квадратические ошибки, , где элементами симметричной диагональной матрицы М размером 24?24 являются следующие средние квадратические ошибки: mx,y = 3 см, m?= 3 см, mS = 0,3 см, m? = 20", mR = 3 см.

Вектор коррелат рассчитывается по формуле:

.

Вектор поправок найдем по формуле: .

Известно, что деформации колец тоннеля - величины сравнительно малые, и в первом приближении примем ?i = 0 со средней квадратической ошибкой 3 - 4 мм. Получив поправки V, можно найти фактическое положение стенок и радиуса тоннеля, по формулам (15). В итоге получен вектор поправок Vi (поправки в линейные величины выражены в сантиметрах, а в угловые - в секундах). После определения поправок в измеренные величины, найдено фактическое положение стенок и радиус тоннеля по формуле (15). (Численные значения в автореферате не приводятся).

Выполненный анализ точности результатов уравнивания показал, что величины деформаций колец тоннеля получены со средней квадратической ошибкой 3 мм, а координаты реального положения оси тоннеля - со средней квадратической ошибкой 1,9 мм, как и величина вероятнейшего радиуса.

Далее в диссертации разработан второй метод определения деформаций стенок тоннеля с одновременным вычислением вероятнейшей окружности. В данном методе рассмотрены результаты измерений полярных координат (углов и расстояний) с одной стоянки электронного тахеометра. В данном случае целесообразно представить функцию (10) в следующем виде:

. (26)

Равенство (26) будет удовлетворено лишь в случае, если все величины будут уравнены.

Измеренные величины представим в виде:

где волнистой чертой сверху отмечены измеренные, либо приближенно известные величины.

Величины деформаций в первом приближении известны , как величины малые, следовательно, поправки к ним будут собственно смещениями наблюдаемых точек от вероятнейшей кривой: .

Представим величины, характеризующие положение вероятнейшей окружности, в виде

где величины являются дополнительными неизвестными. В таком случае уравнение (26) имеет вид:

(27)

Полагая, что поправки к измеренным величинам и дополнительным неизвестным - величины малые, воспользуемся разложением в ряд Тейлора и приведем нелинейное уравнение (27) к линейному виду и введем обозначения:

(28)

где ; .

Введем обозначения:

С учетом принятых обозначений уравнение (28) представим в виде условных уравнений

,(29)

где невязки .

С учетом (19) и (20) уравнение (29) можно представить в виде:

,(30)

где при

:

а при :

Используя условные уравнения (30), составим первую целевую функцию метода наименьших квадратов:

. (31)

После дифференцирования из полученных производных сформируем уравнения поправок: . (32)

С учетом поправок, выраженных через коррелаты (32), условные уравнения (30) предстанут в виде:

. (33)

Для определения параметров вероятнейшей окружности из уравнения (33) сформируем вторую целевую функцию, преобразовав величину свободного члена li:

,(34)

где ,

откуда определим, при каких значениях и функция (34) будет иметь минимум

откуда получим:

(35)

С учетом поправок в измеренные величины, выраженных через коррелаты (32), и перегруппировки членов уравнений, окончательно получим:

(36)

Система уравнений (36) решается совместно с системой уравнений (33). Объединенную систему уравнений можно представить в виде:

где

По сути, этот метод является коррелатным методом с дополнительными неизвестными. Основное отличие его заключается лишь в том, что на значения дополнительных неизвестных наложено новое условие

.

По данной методике был обработан ранее приведенный пример. Оценка точности практически не изменилась, а поправки в измеренные стороны уменьшились, а величина выявленных деформаций увеличилась в среднем на 2 мм. Основное преимущество разработанного метода заключается в том, что для выполнения математической обработки результатов измерений используется стандартный алгоритм коррелатного метода с дополнительными неизвестными.

Власенко Е.П., Хамид Фармарз Пур. Особенности ориентирования подземных геодезических сетей методом двух шахт. Изв. вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка", № 1, 2007.

Клюшин Е.Б., Шлапак В.В., Власенко Е.П., Хамид Фармарз Пур. О некоторых особенностях обработки результатов измерений при решении современных геодезических задач. Материалы международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. М., 2004.

Страницы: 1, 2, 3