Аналогично и с продукцией второго, третьего и четвертого вида, при этом, за все имеющиеся ресурсы, предприниматель должен заплатить не меньше: денежных единиц.
Следовательно, предприниматель будет искать такие значения y1, y2, y3, при которых эта сумма была бы как можно меньше. При этом речь идет о ценах, которые зависят не от цен по которым эти ресурсы были когда-то приобретены, а о ценах зависящих от применяемых в производстве технологий, объемов ресурсов и прибыли, которую возможно получить за произведенную продукцию. Таким образом, задача определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок минимизирующий общую оценку всех ресурсов
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, т. е. :
причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными, т. е. : , , Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.
Т. е. для оптимальных решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий: Ранее в п. 1. было найдено, что , , а и , тогда:
Но т. к. третий ресурс был избыточным (см. п. 1. ), то по второй теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю, т. е... Тогда переходим к новой системе уравнений: от куда получаем: , Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: , , тогда общая оценка всех ресурсов равна:
То же самое решение значений двойственных оценок содержится в последней строке симплексной таблицы 1 и имеет определенный экономический смысл:
Показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 6 денежных единиц.
Показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 3 денежные единицы.
Одновременно технологические оценки из той же строки симплексной таблицы:
Показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (не входящую в оптимальную производственную программу), то это уменьшит прибыль на 7 денежных единиц
Показывает, что если увеличить выпуск продукции четвертого вида на одну единицу, то это уменьшит прибыль на 9 денежных единиц 3. Задача о “Расшивке узких мест производства”
Задача о “расшивке узких мест производства” заключается в том, что, например, когда в процессе производства происходит изменение объема какого-либо ресурса, используемого в производстве, то, соответственно изменяется план производства и прибыль предприятия, получаемая от реализации готовой продукции. Это может происходить по различным причинам, например: сломался станок, поставщик предлагает сырье в большем количестве и т. п.
Поэтому, когда какой-либо ресурс используется полностью, то уменьшение объема этого ресурса, может повлиять на всю структуру плана производства и прибыль предприятия. Следовательно, такой ресурс, образующий “узкие места производства”, желательно иметь с некоторым запасом, т. е. заказывать дополнительно, чтобы сохранить структуру плана производства и получить возможность увеличить прибыль предприятия.
Для примера возьмем данные и результаты вычислений из п. 1. и п. 2. , где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводиться к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли. Тогда, пусть – вектор дополнительных объемов ресурсов:
при этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок: Т. к. , то задача состоит в том, чтобы найти вектор: максимизирующий суммарный прирост прибыли: (3. 1)
при условии сохранения структуры производственной программы: (3. 2)
предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т. е. : (3. 3)
причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т. е. : , (3. 4)
Т. к. неравенства (3. 2) и (3. 3) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств: Ѓ ‚ ѓ „ … (3. 5)
Таким образом, получена задача линейного программирования: максимизировать функцию (3. 1) при условиях (3. 4) и (3. 5). Эту задачу с двумя переменными можно решить графически: График 1.
На графике видно, что система линейных неравенств (3. 4), (3. 5), образует область допустимых решений, ограниченную прямыми: , , ,
при этом линии уровня функции (3. 1) перпендикулярны вектору-градиенту и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция (3. 1) достигает в точкепересечения прямых: и
Координаты этой точки и определяют искомые объемы дополнительных ресурсов. Следовательно, программа “расшивки узких мест производства имеет вид: , , и прирост прибыли составит: Сводка результатов по пунктам 1-3 приведена в таблице 2. Таблица 2. 30 11 45 6 B 3 2 6 0 150 0 6 50 4 2 3 5 130 0 3 4 3 2 4 124 8 0 0 22 0 14 0 1290 0 7 0 9 4. Транспортная задача
Транспортная задача –это задача о минимизации транспортных расходов, связанных с обеспечением пунктов потребления определенным количеством однородной продукции, производимой (хранимой) в нескольких пунктах производства (хранения). В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:
Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах производства (хранения), необходимо распределить между пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы продукции известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были бы минимальными. Примем следующие обозначения: Номер пункта производства (хранения) (i=1, 2, …, m) Номер пункта потребления (j=1, 2, …, n) Количество продукта, имеющиеся в i-ом пункте производства
Количество продукта, необходимое для j-го пункта потребления
Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения
Количество груза, планируемого к перевозке от i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения Тогда, при наличии баланса производства и потребления:
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть следующим образом: найти план перевозок , где ; минимизирующий общую стоимость всех перевозок
при условии, что из любого пункта производства вывозиться весь продукт , где (4. 1)
и любому потребителю доставляется необходимое количества груза , где (4. 2) причем, по смыслу задачи , …,
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов, при котором вводят обозначение вектора симплексных множителей или потенциалов: Тогда: , где ; Откуда следует: , где ;
При этом один из потенциалов можно выбирать произвольно, т. к. в системе (4. 1) и (4. 2) одно уравнение линейно зависит от остальных, а остальные потенциалы находятся, что для базисных значений.
Предположим, что однородный продукт, находящийся в трех пунктах производства (m=3), необходимо доставить в четыре пункта потребления (n=4). При этом матрица транспортных затрат на перевозку единицы продукта из любого пункта отправления в любой пункт назначения, вектор объемов запасов продукта в пунктах производства и вектор объемов продукта, необходимых пунктам потребления, имеют вид:
Тогда получается, что общий объем продукта в пунктах производства больше, чем требуется всем потребителям , т. е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для того чтобы превратить открытую модель транспортной задачи в закрытую, необходимо ввести фиктивный пункт потребления с объемом потребления единиц,
при этом тарифы на перевозку продукта в этот пункт потребления будут равны нулю, т. к. фактического перемещения продукта не происходит. Тогда, первое базисное допустимое решение легко построить по правилу “северо-западного угла”. А т. к. оценки базисных клеток транспортной таблицы равны нулю, то, приняв, что, первая транспортная таблица и потенциалы имеют вид: 30 11 45 36 28 50 30 11 9 * 70 36 34 30 2 28
Т. к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 14, то строим цикл пересчета: 14-13-23-24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета: 9 * ® ® 0 9 36 34 45 25
Страницы: 1, 2, 3, 4
