Ответ: [0,+].

Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.

Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример.

Задача О3: Докажите, что сумма любых десяти подряд идущих нечётных чисел делится на 20.

Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20.

Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для одной последовательности чисел, еще не следует выполнение свойства для любой другой последовательности. Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои рассуждения для всего класса рассматриваемых объектов. В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предпосылки для обобщения он не выделяет.

Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным.

Задача О4: Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10?

Решение: 2 = 50 + 2 = 100 + 2, 7 = 51 + 2 = 100 + 7, 12 = 52 + + 2 = 101 +2 и так далее, при увеличении числа на 5 никаких других остатков, кроме 2 и 7 не будет.

В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны.

В отличие от обобщения, при конкретизации происходит переход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теоремы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) неточное понимание определения; 2) неправильное применение теоремы, свойства.

В понимание структуры определения входит:

1) понимание смысла определения (раскрытие содержания понятия).

2) понимание строения определения (родовой и видовой признаки).

3) знание условий, которым должно удовлетворять правильное определение (указываются только основные признаки, не должно быть “порочного круга”).

Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под определение, шире действительного).

Примеры:

· по определению делимости 5 делится на 2, так как существует число 2,5 такое, что 5 = 22,5. Множество объектов шире действительного, так как оба множителя должны быть целыми числами.

· многие школьники четырехугольник понимают как выпуклый, понятия о существовании невыпуклого четырехугольника нет, так как в школьной практике ученики работают почти исключительно с выпуклыми фигурами. Множество объектов, удовлетворяющих определению, эже действительного.

Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Например:

Задача О5: Основание призмы имеет площадь S. Ее боковое ребро длиной k наклонено к основанию под углом . Найдите объем призмы.

Решение: Объем призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра, поэтому V = Sk.

Анализ ошибки: В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы. Для наклонной призмы эта формула не верна, следовательно, применять ее нельзя. Единственный способ искоренить ошибку - показать ученику наглядно, что его рассуждения противоречивы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой призмы.

§2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ.

Комбинаторика. Задания №1, №2.

Задача 1-7. AB содержит 25 элементов, AB - 10 элементов, B содержит 15 элементов. Найти количество элементов в A.

Рассуждения ученика: Так как множество B содержит 15 элементов, то множество A будет содержать 25 - 15 = 10 элементов.

Анализ ошибки: Следует заметить, что, выполняя задание “Комбинаторика”, большинство учеников впервые знакомятся с теорией множеств. В связи с этим они пытаются найти свойства, схожие со свойствами уже знакомых им объектов. Так операцию объединения двух множеств школьники часто связывают с операцией сложения двух чисел. Это вполне логично, ведь в свою очередь числа еще в младшем возрасте они изучали при помощи подручных предметов, к примеру, тех же счетных палочек, то есть, фактически, с помощью операций над множествами. При решении задачи ученик действовал с множествами, как с числами. Это было бы верно, если бы пересечение множеств было пустым, как при работе со счетными палочками. Но если это не так, то число элементов в объединении и сумма количеств элементов в каждом из множеств - это разные величины. Но ученик действовал по уже сформированному стереотипу, поэтому в ответе он получил не количество элементов множества A, а количество элементов, принадлежащих только A. Исходя из классификации, данной в §1, эту ошибку следует отнести к классу необоснованных аналогий. Причина ошибки состоит в том, что ребенок при решении задачи неосознанно работает с любыми двумя множествами как с непересекающимися. Проверяющему следует помочь ученику разобраться в понятиях пересечения и объединения, сделав упор на том, что отличает объединение множеств от сложения чисел. Это можно сделать, разобрав конкретную задачу. Целесообразно использовать круги Эйлера, так как графические иллюстрации помогают ученику лучше воспринимать информацию. Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Множество A содержит 7 элементов, множество B - 10, объединение множеств A и B - 15.Сколько элементов содержит пересечение множеств A и B(c)?

Объединение множеств A и B можно разделить на три подмножества: 1) элементы, принадлежащие только множеству A; 2) элементы, принадлежащие пересечению множеств A и B; 3) элементы, принадлежащие только множеству B. Сложив количество элементов трех групп, мы получим количество элементов в объединении множеств A и B. Это видно и на кругах Эйлера. Обозначим за x - количество элементов пересечения. Тогда в первой группе 7 - x элементов, во второй x, в третьей 10 - x . В объединении (7 - x) + x + (10 - x) = 17 - x = 15 x = 2. Можно предложить ученику решить данную задачу в общем виде, заменив числа 7, 10 и 15 на a, b и с. Тем самым он получит выражение с = a + b - х, характеризующее количественное отношение двух множеств.

Задача 1-14. Записать формулами множества, заштрихованные на диаграммах (приведено несколько диаграмм, из которых мы рассмотрим одну).

Рассуждения ученика: Интересующее нас множество можно записать как AC + BC.

Анализ ошибки: Ученик отождествляет сложение с объединением. Надо убедить его, что между этими двумя операциями есть разница.

Не так важно, как называет ученик объединение (“объединение первого и второго множеств” или “прибавим к первому второе множество”, как-то иначе), важно то, что он подразумевает под ним, понимает ли он суть операции объединения. Поэтому нельзя считать, что ученик действовал при решении данной задачи неправильно. Надо указать, что при оперировании с числами употребляется знак “+”, а с множествами - “”. Разделение этих операций исключает из рассуждений ненужную путаницу.

Рассуждения ученика: Интересующее нас множество можно записать формулой AC + BC - ABC.

Анализ ошибки: ученик множествами оперирует, как числами. Он решает совсем другую задачу: сколько элементов содержит заштрихованное множество. Задача проверяющего - разъяснить разницу между множеством и количеством элементов в этом множестве. Ошибка напрямую связана с формальным знанием определений операций над множествами. По классификации она относится к разделу неправильное понимание определения (неверная конкретизация). Поэтому в данной ситуации проверяющему рекомендуется дать кроме приведенных в методическом пособии определений на диаграммах, словесные определения:

AB - множество всех элементов, которые принадлежат либо A либо B.