1.3 Подходы к определению правильного многогранника.

После введения выпуклых многогранников изучаются их виды: призмы, пирамиды и их разновидности. Практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические осо-бенности.

В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебнике [4] и других выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике [22] вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А.Д. Александрова и других [3] по сравнению с учебником [4] накладывает дополнительное требование ра-венства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком. [3]

Учебное пособие [16] дает такое определение: выпуклый многогранник называется правиль-ным, если все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней.

В [15] многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге [9] сказано: многогранник называется правильным, если все его грани -равные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны.

Как видим, во всех перечисленных учебниках даются раз-личные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников.

Перечислим их:

1°. Выпуклость многогранника.

2°. Все грани - равные правильные многоугольники.

3°. Все грани - правильные многоугольники с одним и

тем же числом сторон.

4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число гра-ней.

6°. Равны все многогранные углы.

7°. Равны все двугранные углы.

Возможны и другие свойства правильных многогранников,

например:

8°. Равны все ребра многогранника.

9°. Равны все плоские углы многогранника.

Какие же свойства следует взять для определения пра-вильного многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять?

Нам представляется, что для отбора свойств в определе-нии правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями:

- Всякое определение должно быть полным, т. е. вклю-чать те свойства, которые полностью определяют данное по-нятие. Иными словами, любое свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в опреде-лении.

- Всякое определение должно быть по возможности эко-номным, т. е. не содержать лишних свойств, которые выво-дятся из остальных свойств правильного многогранника.

- Определение понятия правильного многогранника должно отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове "правильный" (правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д.).

- Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости.

- Определение правильного многогранника должно до-пускать возможные обобщения, например, на случай полу-правильных и топологически правильных многогранников.

- Определение должно быть педагогически целесообраз-ным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных мно-гогранников, нести определенные педагогические функции.

Пространственными аналогами определе-ния правильного многоугольника являются определения, данные в пособиях [15]и [9]. К числу достоинств этих опре-делений мы относим и то, что в них отсутствует требование выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а с другой - фактически не используется при доказательстве теорем и решении задач. К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников. Например, равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных много-гранников.

Для определения топологически правильных многогранников следует использовать свойства, носящие топологиче-ский характер. Такими свойствами из перечисленных выше являются 3°, 4° и 5°. Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в учебнике [22].

Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных выше определений правильного многогранника не является универсальным, т. е. удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует выбирать и соответствующее им определение. Так, если надо только ознако-мить учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с определением правильного многоуголь-ника, не исследуя при этом подробно свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения, данные в пособиях [15] и [9]. Если же мы хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в ча-стности перейти к полуправильным и топологически пра-вильным многогранникам, то лучше всего обратиться к оп-ределениям из учебников [4] и [22]. [29], [27]

2.Изучение многогранников в школьном курсе математики.

В школьных учебниках после изучения «бес-конечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геомет-рических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в пер-вую очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель много-гранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» - посмотреть на сечение. В дан-ной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использо-вать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внима-ние и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изу-чение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматри-ваются простые характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики - -это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные много-гранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго опреде-ляются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,… . Более детальная классификация - по взаимному располо-жению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная»:

И далее:

Школьная классификация пирамид менее разветвленная:

Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естествен-ный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипе-дам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметрично-сти; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избран-ным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и на-половину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). По-этому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).

Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - на-учить школьников решать задачи. Практически все задачи (упраж-нения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем рас-крываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах на-ходят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, све-дение стереометрических задач к планиметрическим.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.

2.1 Учебник Атанасяна Л.С.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее.

Данная тема изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено поурочное планирование в таблице.

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 §4 «Тетраэдр и параллелепипед». На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

Страницы: 1, 2, 3, 4