Тип урока: урок контроль, урок изучения нового материала.
Продолжительность: 2 часа.
Цели:1) Изучить новый метод решения матричных игр.
2) Научить пользоваться программой Maple при решении матричных игр графоаналитическим методом.
1 этап: дать краткое описание графоаналитического метода.
2 этап: показать данный метод на примерах.
3 этап: закрепить новый материал и дать домашнее задание.
Ход занятия.
1 этап. Для некоторых классов матричных игр практический интерес представляет графоаналитический метод. Этот метод состоит из двух частей. С начало в матричной игре графически выявляются качественные особенности решения, затем полная характеристика решения находиться аналитически.
Данный метод решения применяется в тех задачах, в которых у одного из игроков ровно две стратегии.
В основе этого метода лежит утверждение, что max min f (x,y) = min max f (x,y) = Vв.
2 этап. Рассмотрим данный метод на задаче под названием «орлянка»
Пример 6.1: Два игрока независимо друг от друга называют числа, если оба числа имеют одинаковую четность, то один получает рубль, если разные, то рубль получает второй.
Решение: Данная игра представлена матрицей А
Здесь игрок 1 и 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиции первого игрока.
Пусть его стратегия х = (б, 1-б), 0 ?б?1.
Вычислим хА=(б, 1-б)(1 -1)= (б- (1-б), -б+1-б)=(2б-1, 1-2б). (-1 1)
Обозначим f2(б)=2б-1 и f2(б)=1-2б.
Найдем max min (f1 (б), f2 (б))= max( min(2б-1, 1-2б)).
Для нахождения максимина приведем графическую иллюстрацию (1)
Вначале для каждого б Ђ [0,1] найдем min(2б-1, 1-2б). На рисунке (1) такие минимумы для каждого б Ђ [0,1] образуют ломанную - нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка достигает при б Ђ [0,1], которое является решением уравнения f1 = f2 , т.е. 2б-1= 1-2б. Здесь б=1/2. Вторая координата точки P будет 2*1/2-1=0. итак P(1/2, 0). В смешанном расширении данной игры max( min(2б-1, 1-2б))=0.
Максиминная стратегия первого игрока хн = (б, 1-б)=(1/2, 1/2). По аналогичной схеме найдем минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим y=(в, 1-в), 0?в?1.
Вычислим Аy=( 2в-1, 1-2в).
Обозначим f1(в)= 2в-1, f2(в)= 1-2в
Найдем min max (f1(в), f2(в))= min (max (2в-1, 1-2в)).
Проведем геометрическую иллюстрацию на рисунке 2.
Для каждого в€[0,1] найдем min(2в-1, 1-2в).
На рисунке (2) такие минимумы для каждого в Ђ [0,1] образуют ломанную - верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое будет в точке S. Координаты точки S(1/2,0).
В смешанном расширении данной игры min (max (2в-1, 1-2в))=0.
YВ=( в, 1-в)=(1/2, 1/2) и выполняется условие, что
VH = max min аij = min max аij = Vв. Значит цена игры V* =0 и седловая точка равна (х*, у*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)).
Ответ: (х*, у*)=((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), V* =0.
3 этап. Учитель повторяет последовательность решения данной задачи графоаналитическим методом. Дает домашнее задание.
Домашнее задание: придумать каждому ученику 1 задачу, чтобы она решалась графоаналитическим методом.
Задача:
Графоаналитическим методом найти цену и седловую точку матричной игры, заданную матрицей выигрыша первого игрока.
> with(simplex):
> A := Matrix(4,4, [[4, 2,3,-1],[-4,0,-2,2],[-5,-1,-3,-2],[-5,-1,-3,-2]]);
>
C:={ A[1,1]*x+A[1,2]*y+A[1,3]*z+A[1,4]*t <=1,
A[2,1]*x+A[2,2]*y+A[2,3]*z+A[2,4]*t <=1,
A[3,1]*x+A[3,2]*y+A[3,3]*z+A[3,4]*t
<=1,A[4,1]*x+A[4,2]*y+A[4,3]*z+A[4,4]*t <=1};
Ш X:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE );
> f_max:=subs(X,f);
> XX:=X*V;
Ш C1:={ A[1,1]*p1+A[2,1]*p2+A[3,1]*p3+A[4,1]*p4 >=1,
Ш A[1,2]*p1+A[2,2]*p2+A[3,2]*p3+A[4,2]*p4 >=1,
Ш A[1,3]*p1+A[2,3]*p2+A[3,3]*p3+A[4,3]*p4
Ш >=1,A[1,4]*p1+A[2,4]*p2+A[3,4]*p3+A[4,4]*p4 >=1};
Ш Y:=minimize(f1,C1 ,NONNEGATIVE);
Ш YY:=V*Y;
> VV:=XX*V*L;
Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: Лекция, урок решения задач.
Цели:1) Изучить графический метод.
2) Показать применение программы Maple при решении систем неравенств графическим методом.
3)Развить восприятие и мышление по данной теме.
План занятия: 1 этап: изучение нового материала.
2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.
3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
2x1+x2 <=10
x1+3x2>=3
5x1-x2 >=-5
x1+6x2>=6
x1>= 0, x2>=0
> restart;
> with(plots);
> with(plottools);
> S1:=solve( {f1x[1, 1] = X6[1, 1], f2x[1, 1] = X6[1, 2]}, [x, y]);
Ответ: Все точки Si где i=1..10 для которых x и y положительна.
Область, ограниченная данными точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)
3 этап. Каждому ученику даётся один из 20 вариантов, в котором ученику предлагается самостоятельно решить неравенство графическим методом, а остальные примеры в качестве домашнего задания.
Занятие №4 Графическое решение задачи линейного программирования
Вид урока: Лекция + урок решения задач.
Цели: 1) Изучить графическое решение задачи линейного программирования.
2) Научить пользоваться программой Maple при решении задачи линейного программирования.
2) Развить восприятие, мышление.
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.
Страницы: 1, 2, 3
