Мультимедійні проектори оснащуються спеціальною інфрачервоною системою, що дозволяє маніпулювати мишею на великому екрані і тим самим дистанційно управляти роботою комп'ютера.

Уроки із застосуванням мультимедійних засобів навчання викликають у учнів інтерес, примушують працювати всіх. Використовування мультимедіа на практичних заняттях перетворює їх на творчий процес, дозволяє здійснити принципи розвиваючого навчання, допомагає створювати умови успішності кожного учня на уроці, дає можливість забезпечити заняття динамічною наочністю, збільшити кількість тренувальних завдань, збільшити темп виконання робіт учнями, диференціації їхньої діяльності, наявність зворотнього зв'язку, об'єктивність контролю, підвищення мотивації навчання.

2. Методика вивчення тригонометричних функцій в старшій школі

У відповідності до програм 12-ти річної школи тема «Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початків аналізу в старшій школі вивчається як друга у 10 класі.

Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початків аналізу в 10 класі знання учнів формуються на основі відновлених на початку навчального року знань про функції їх властивості та графіки (синус, косинус і тангенс зокрема). Основна увага має бути зосереджена на розгляді тригонометричних функцій будь-якого числового аргументу і основних тригонометричних тотожностей. Доцільно попередньо повторити і розширити відомості про радіанну систему вимірювання кутів і дуг.

2.1 Радіанна міра кутів і дуг

Перш ніж вводити поняття тригонометричної функції числового аргументу, доцільно докладніше, ніж у курсі геометрії 9 класу, розглянути поняття «радіанна міра кута». Потрібно пояснити причину її введення, специфіку і переваги перед іншими системами вимірювання кутів. Можна нагадати учням про різні системи вимірювання кутів.

Радіанну міру кутів широко використовують у математиці, фізиці, техніці. Передумовою її запровадження був такий факт: якщо розглянути два концентричні кола радіусів і (Рис. 2.1) і два різні центральні кути ? і ? з відповідними дугами і , і , то за відомою формулою довжини дуги

, , , .

Поділивши обидві частини кожної з чотирьох рівностей на відповідний радіус, дістанемо:

, , , .

Звідси

, .

Якщо , то . Отже, для деякого центрального кута відношення довжин дуг концентричних кіл до радіусів є величиною сталою і може слугувати характеристикою величини відповідного центрального кута. Встановлено, що для довільного центрального кута , де - стала для цього центрального кута. Число а, що дорівнює відношенню довжини дуги до радіуса кола, називають радіанною мірою кута.

Якщо , то а=1. Тому в радіанній системі за одиницю виміру величини кута взято центральний кут, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса. Міру цього кута називають радіаном. Радіан є одиницею радіанної міри кутів. Радіанною мірою дуги кола називають радіанну міру відповідного центрального кута.

Для радіанної міри кута і відповідної одиниці традиційно не запроваджено позначення. Тому якщо розглядають тригонометричну функцію кута, міра якого виражена в градусах, наприклад , то записують . Якщо міра кута виражена в радіанах, то пишуть

. Це означає, що цей кут містить радіан, а у виразі sin 2--2 радіани.

Деякі учні помилково вважають, що символ є позначенням одиниці радіанної міри. Щоб спростувати це неправильне уявлення, потрібно у прикладах використовувати аргументи тригонометричних функцій не тільки з ірраціональним числом або його частками, а й з іншими дійсними числами.

Специфікою радіанної міри є й те, що радіан міститься в розгорнутому куті =3,14 разів, а градус 180. Перевага радіанної системи вимірювання кутів - формули довжини дуги і площі сектора у випадку вимірювання відповідного центрального кута в радіанах спрощуються: , де - радіус кола, а - радіанна міра центрального кута. (Порівняйте з формулами

, ).

Найбільшою перевагою радіанної міри - для малих кутів, виміряних у радіанах, виконуються наближені рівності , . Справді, нехай =3°. Оскільки 3°=0,0524 радіана, а sin 3°=0,0523, то справедлива наближена рівність sin 0,0524=0,0523. Для градусної міри рівність sin3°=3 не має смислу. Цю властивість радіанної міри широко застосовують у математичному аналізі та інших науках.

Практика свідчить, що виведення формул переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки не спричинює труднощів в учнів. Помилок вони припускаються, здебільшого заокруглюючи наближені значення, отримані під час застосування згаданих формул.

2.2 Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу

Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функцій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут повороту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між множиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого попередньо виконати таку вправу.

Приклад 1. Позначити на одиничному колі точки , в які відображується початкова т.Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів, якщо , , , , , (Рис.2.2).

Розв'язання. За із формули довжини дуги, вираженої через радіанну міру, випливає , де - радіанна міра центрального кута і відповідної йому дуги. Це означає, що числове значення довжини дуги збігається з числовим значенням її радіанної міри.

Оскільки т., в яку відображається т.Р0(1;0), лежить на перетині осі у з колом і , , то т., в яку відображається Р0(1;0), лежатиме на колі між точками і . Точки і містяться на колі в 4-й чверті симетрично точкам і відносно осі .

Числу відповідає точка початок Р0 (1;0) - початок відліку дуг на одиничному колі, числу - т., яка є кінцем дуги, що дорівнює двом дугам .

Розв'язуючи цю вправу, небажано переходити від радіанної міри до градусної, хоч учням легше замінити 1 рад на 57°, а рад - на 90° і відшукати т. на дузі кола. Важливо навчити учнів знаходити відповідні точки на колі для кутів, заданих радіанною мірою, оскільки метою є ввести поняття тригонометричної функції довільного числа.

На завершення розв'язування цієї вправи доцільно розглянути координатну вісь, яка є дотичною до одиничного кола в т.Р0(1;0), має початком відліку цю точку й одиницю відліку, що дорівнює радіусу одиничного кола. Якщо намотувати цю координатну вісь на одиничне коло, то наочно виявляється відповідність між множиною R дійсних чисел і множиною точок одиничного кола.

Увагу учнів звертають на те, що кожній т. на одиничному колі відповідають її абсциса й ордината, які також залежать від числа . Тому маємо ще дві залежності між дійсним числом і абсцисою та ординатою відповідної т., в яку відображується початкова т.Р0(1;0) одиничного кола при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Отже, існують відповідності між множиною дійсних чисел і множиною абсцис і ординат т. одиничного кола. Ці залежності (відповідності) дістали назву тригонометричних функцій числа або тригонометричних функцій числового аргументу.

Означення 1. Синусом числа називають ординату точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .

Означення 2. Косинусом числа називають абсцису точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при

повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .

Означення 3. Тангенсом числа називають відношення , а котангенсом числа - відношення , їх позначають відповідно , .

Отже, за означенням, , .

Оскільки кожному дійсному числу можна поставити у відповідність дійсні числа і , то вважатимемо, що на множині R задано функції , . Враховуючи, що визначений для всіх , крім тих, за яких , і кожному дійсному числу, крім , відповідає єдине число , вважатимемо, що - функція, областю визначення якої є всі дійсні числа, крім .

Міркуючи аналогічно, можна зробити висновок, що функція областю визначення має множину всіх дійсних чисел, крім.

Для побудови графіків функцій , і для розв'язування деяких задач доцільно запровадити поняття лінії тангенсів і лінії котангенсів.

Послуговуючись означеннями 1 - 3, потрібно колективно дослідити характер зміни значень кожної з тригонометричних функцій та їхніх знаків.

Для тангенса і котангенса зручно використати їхні лінії як дотичні до одиничного кола. Запам'ятовуванню знаків функції по координатних чвертях сприяє схема (Рис. 2.3.).

Рис. 2.3

З метою повторення відомостей з курсу геометрії про значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° слід знайти ці значення для відповідних радіанних мір.

Приклад 2. Знайти значення всіх чотирьох тригонометричних функцій числа .

Розв'язання. Щоб знайти і , досить знайти ординату і абсцису т. (Рис. 2.4.), яка відтинає частини дуги . У прямокутному трикутнику , а . Оскільки у прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута , дорівнює половині гіпотенузи, то . За теоремою Піфагора,

, ,

, .

Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій чисел і . Учитель рекомендує учням запам'ятати значення функцій чисел , , , оскільки ними часто послуговуються, розв'язуючи інші задачі. Ці значення зводять до табл. 2.1.

Таблиця 2.1.

Щоб учні легше запам'ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис. 2.5.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до , «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

Мнемонічне правило (для тригонометра)

1. Якщо кут відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції змінюється: на , на , на , на ;

Якщо кут відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції не змінюється.

2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася.

Рис. 2.5.

2.3 Вивчення властивостей тригонометричних функцій

Перш ніж вивчати властивості тригонометричних функцій, попередньо потрібно довести їхню періодичність і, послуговуючись означенням та цією властивістю, побудувати графіки. Графіки дають змогу виявити інші властивості, а потім обгрунтувати їх аналітично.

Використовуючи означення синуса і косинуса числового аргументу та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі, матимемо , , де , тобто періодом синуса і косинуса є числа . Застосовуючи лінії тангенсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що , , тобто періодом тангенса і котангенса є числа .

Доведемо методом від супротивного, що найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число .

Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді при маємо . Однак синус може дорівнювати 1 лише в т., яка відповідає на одиничному колі числам , . Отже, , звідки . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо , що суперечить умові, оскільки , а між 0 і 1 немає жодного цілого числа. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що - найменший додатний період функції .

Страницы: 1, 2, 3