Прежде всего, учителю необходимо представлять себе последовательность работы в «мастерской»:

I этап - индукция - обращение к предыдущему опыту;

II этап -- обсуждение темы в группах, а далее со всем классом;

III этап - разрыв - момент, когда учащиеся должны осознать, что в их знаниях имеются пробелы, которые они сами должны восполнить;

IV этап -- рефлексия -- определение степени усвоения.

Опишем подробнее каждый из этапов урока.

I этап -- индукция. Учитель напоминает о том, что в классе уже изучат функции у=х, у=, у=x2 их свойства и графики. Эти функции можно в общем виде задать формулой: у=хq, где q -- некоторое целое число. Такая функция называется степенной. Перед классом ставится следующая задача: перечислить вопросы, на которые мы должны ответить, изучая новую функцию.

Класс обсуждает эти вопросы по группам, а потом все вопросы от групп собираются в единый список:

- Какими свойствами обладает данная функция?

- Каков ее график?

- В каких ситуациях она используется?

Начнем с ответа на последний вопрос. Приведем примеры нескольких ситуаций, в которых появляется степенная функция.

Три ученика поочередно выходят к доске и делают сообщения, подготовленные дома.

Первый ученик рассматривает функцию

S = , где S - площадь поперечного сечения провода диаметром d. Слушатели замечают, что эта степенная функция фактически представляет собой квадратичную, но с ограничениями на значение аргумента d.

Второй ученик рассказывает о том, что сила притяжения F двух тел с массами m1, и m2, выражается формулой F=гm1m2r-2. Это функция расстояния г между этими телами. В классе найдется ученик, который заметит, что мы уже строили график функции такого вида, хотя специально ее не изучали.

Третий ученик анализирует дальность d расстояния горизонта от наблюдателя: d=3,8h1/2. Эта функция высоты, на которую поднят наблюдатель над уровнем моря. Если ребята сами этого не заметили, то учитель должен подчеркнуть, что здесь величина d не может возрастать неограниченно. Действительно, как бы ни был высоко поднят наблюдатель, он не может увидеть больше, чем позволяют возможности его зрения и выпуклость Земного шара. Этот пример особенно показателен, так как позволяет судить о целесообразности ограничений на значения функции. Здесь какие-то ограничения мы должны наложить на значения функции d, хотя значения h, теоретически говоря, могут возрастать неограниченно.

II этап - обсуждение темы. Учащимся предоставляется некоторое время для того, чтобы они разобрали свойства одной из выбранных ими степенных функций. Главная проблема здесь в выборе функции. Одна группа склонна упрощать задачу, ограничиваясь функцией вида у = х2, которая всем учащимся хорошо известна. Другая группа слишком усложняет свою работу, занявшись функцией вида y=х4 или у=х5, а то и обеими вместе, хотя общий подход к вопросу учащимся еще не ясен.

В конце концов, находятся группы, избравшие функции, графики которых уже рассматривались ранее, хотя на них не делалось нужного акцента.

Первая группа рассматривала функцию вида у=х3; отметила область ее определения: D(f)=(-?; +?) и нулевое значение функции при х = 0. Ребята особо остановились на том, что функция возрастает на всей области определения. Выделили промежутки, на которых функция больше или меньше нуля. Выступавшие особо подчеркнули, что эта функция нечетная и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

От этой группы выступает перед классом один ученик, который рассказывает о результатах исследований в группе.

Вторая группа выбрала для рассмотрения функцию у=х-3. Ребята заметили, что теперь придется исключить из области определения функции число 0, т.e. D(f)=(-?; 0) U (0; +?). В отличие от предыдущей, эта функция не имеет нулей. Но, как и рассмотренная выше, эта функция положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0. Она убывает на всей области определения.

Представитель этой группы особо подчеркивает различия между функциями у = х3 и у = х-3.

Еще двое учеников рассказывают о функциях у = х4; у = х-4.

Во время своих выступлений все докладчики должны продемонстрировать графики рассмотренных функций.

Во время III этапа урока учащиеся должны обобщить свои знания. А сделать это они должны самостоятельно, удивившись разнообразию рассмотренных функций. «Почему им дано одно название, если их так много и они разные?» - вот вопрос, который должны поставить перед собою учащиеся. Задача учителя -- незаметно подвести учащихся к этому вопросу. Наступает момент так называемого разрыва, когда ребята должны осознать недостатки своих знаний, их ограниченность или неполноту. Действительно, одна функция из рассмотренных имеет нули, другая нет. Одна возрастает на всей области определения, другая - то возрастает, то убывает. Какую же характеристику мы должны дать всей степенной функции, чтобы она охватывала как можно больше частных случаев?

В поиске ответа на этот вопрос кто-то из ребят, в конце концов догадывается, что вид степенной функции у = хn удобно связать с четностью или нечетностью показателя степени n.

Теперь уместно снова дать задание группам обсудить свойства функций:

у = хn, где n - нечетное;

у = хn, где n -- четное,

у = х-n, где n - нечетное;

у = х-n, где n - четное.

Еще раз отмечаем план исследования функции:

1. Указать область определения.

2. Определить четность или нечетность функции

(или отметить, что она не является ни четной, ни нечетной).

3. Найти нули функции, если таковые существуют.

4. Отметить промежутки знакопостоянства.

5. Найти промежутки возрастания и убывания.

6. Указать наибольшее или наименьшее значение функции.

Работа завершается тем, что на доске возникают графики рассмотренных функций (рис. 1, а-г). Эти графики выполняют представители каждой из групп.

Рис. I

Теперь вместе с классом строим графики функции у = х1/n, у =x -1/n, где n - натуральное число и n ? 2 (рис. 2, а. 6).

Рис. 2

Отмечается общее свойство этих функций: они обе имеют область определения - промежуток (0; +?). Они обе являются ни четной, ни нечетной. Они обе больше нуля.

Но у этих функций есть и различия. Ребята их называют особо: функция вида у = х1/n возрастает на своей области определения, а функция вида у = х-1/n убывает на той же области. Функция вида у = х1/n имеет нулевое значение при х = 0, а функция вида у = х-1/n не имеет нулей.

На IV этапе учащиеся должны заняться рефлексией, т.е. определением степени усвоения материала. Весь класс получает следующее задание по рис. 3.

Рис. 3

На рис. 3, а-з схематически изображены графики функций, которые заданы формулами: у = х3; у = x1/3; y=x4; у = х2; у = 1/x2; у=x1/2; y = х-1, у = х-1/2.

Установите, какая формула из данного списка примерно соответствует каждому из графиков а-з.

5.4. Учебные викторины

Одной из нетрадиционных форм обучения является учебная викторина. Она нацеливает учащихся на интерес к математике, развивает их умственные способности, заставляет их мыслить нетрадиционно. Рассмотрим несколько примеров проведения математических викторин в 11 и 5 классах.

Математическая викторина 5 класс.

Математическую викторину можно провести в виде "Рыбки»

1. Из плотной цветной бумаги изготавливается несколько рыбок

2.На чистой обратной стороне пишется задача

3. К каждой рыбке прикрепляется большая железная скрепка

4. Все рыбки с задачами помещаются в ящик

5. Представители команд вылавливают рыбки из ящика с помощью удочки (палочки с веревочкой, на конце которой прикрепляется магнит)

6. Пойманные задачи решаются учениками и оцениваются баллами.

Задачи для "Рыбки"

1. В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Против каждой кошки сидят по 3 кошки. Сколько всего кошек в комнате?

2. Сколько квадратов на чертеже?

2. Сколько треугольников на чертеже?

4. У меня в левом кармане столько же денег, сколько в правом. Из левого переложили в правый одну копейку. На сколько после этого станет больше денег в правом кармане, чем в левом?

5. Пять рыбаков за 5 часов распотрошат 5 судаков. За сколько часов 100 рыбаков распотрошат 100 судаков?

6. Что тяжелее: пуд железа или пуд пуха?

7. На озере росли лилии. Каждый день их число удваивалось и на 20-й день заросло все озеро. На какой день заросла половина озера?

8. Разделить фигуру на две равные части

9. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

10. Во сколько раз уменьшится число, если от него отнять половину такого же числа?

Математическую викторину можно провести в форме «Ромашки». Для этого надо:

1. Изготовить круг из цветной плотной бумаги

2. К кругу скрепками прикрепляются разноцветные лепестки, на обратной стороне которых пишется задача

3. Ученик из команды подходит к учителю, вытаскивает лепесток, читает и решает задачу

Задачи на лепестках

1. У Андрея и Бори вместе 11 орехов. У Андрея и Вовы -- 12 орехов. У Бори и Вовы -- 13 орехов. Сколько всего орехов у Андрея, Бори и Вовы вместе?

2. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 8, 15, 6, 27 подбери такие три числа, сумма которых равна 50. .

3. Перечислить не менее 6 способов, которыми можно набрать 15 копеек.

4. Как тремя отрезками, не отрывая карандаша от бумаги, перечеркнуть все точки?

5. В семье у каждого из 6 братьев есть по сестре. Сколько детей в семье?

6. Два в квадрате 4, 3 в квадрате 9. Чему равен угол в квадрате?

7. Величина угла 30°. Чему она будет равна, если рассматривать угол в лупу с 2-кратным увеличением?

8. Сколькими нулями оканчивается произведение первых десяти натуральных чисел?

9. Кто изображен на портрете;

В семье я рос один на свете,

И это правда, до конца.

Но сын того, кто на портрете,--

Сын моего отца

(На портрете -- мой отец)

10. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100

Учитель может задать по вопросу каждой команде

1. Шел Кондрат в Ленинград.

А навстречу 12 ребят.

У каждого по 3 лукошка.

В каждом лукошке кошка.

У каждой кошки 12 котят.

У каждого котенка в зубах по 3 мышонка.

И задумался старый Кондрат:

"Сколько мышат и котят

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6