6
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы «Уравнения с переменной в знаменателе»
Студента 4 курса
Маркова Романа Владимировича
Научный руководитель:
к.п.н., доцент кафедры дидактики
физики и математики
Шилова Зоя Вениаминовна
Киров 2009
Оглавление
Введение
Глава 1. Обзор учебников и методов изучения темы
1. Обзор учебников
2. Обзор методов изучения темы
Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы
Заключение
Список литературы
С проблемой деления на ноль учащиеся знакомятся ещё в начальной школе, изучая операцию деления. Это связано с тем, что при делении на некоторое число используется умножение на число, обратное делителю, а число ноль, как известно из теории чисел, обратного элемента на множестве рациональных чисел не имеет. Но введение строгой аксиоматической теории в школьном курсе математики невозможно, поэтому проблема требует других, более понятных для школьника подходов.
Главным принципом при решении уравнений с переменной в знаменателе является учет именно этого факта, поэтому данная тема нуждается в пропедевтике. Анализ учебников математики (см далее.) показал, что во всех учебниках проблеме деления на 0 не отдается должного внимания. Как следствие - тема «уравнения с переменной в знаменателе» становится сложной и не доступной пониманию учащимся. Для уменьшения формализма при решении таких уравнений и затруднений при их решении в данной работе приводятся методические рекомендации для проведения пропедевтики темы, её изучения и последующего закрепления.
Объектом работы является преподавание математики и алгебры в 5 - 9 классах основной школы.
Предметом - затруднения школьников при обучении математике, а именно: проблемы, связанные с изучением темы «Уравнения с переменной в знаменателе».
Цель: разработать методические рекомендации, направленные на повышение качества знаний учащихся по теме «Уравнения с переменной в знаменателе», проведение пропедевтической работы с учащимися по теме, повторение изученного материала темы в ходе изучения других разделов алгебры.
Структура работы:
1. Обзор и анализ материала, предлагаемого к изучению по этой теме в основных школьных учебниках, методы изучения темы.
2. Методические рекомендации по изучению, пропедевтике и повторению материала темы.
Для анализа были выбраны следующие учебники:
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 5»
2. Истомина Н.Б. «Математика 5 класс»
3. Волович М. Б. «Математика 5»
4. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика 6»
5. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 6»
6. Истомина Н.Б. «Математика 6 класс»
7. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6»
8. Теляковский С.А. «Алгебра 7»
9. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 7 кл.»
10. Макарычев Ю.Н. «Алгебра 7 класс»
11. Теляковский С.А. «Алгебра 8»
12. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 8 класс»
13. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 9 кл.»
14. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 9 класс»
В каждом из учебников выбраны темы, каким-либо образом затрагивающие изучаемый раздел.
Дорофеев Г.В. и др. «Математика 5»
1. Введение операции деления:
2. Изучение операций с дробями. Случай деления на 0 не рассматривается.
Истомина Н.Б. «Математика 5 класс»
1. Операция деления. Случай деления на 0 не рассматривается, дана только краткая памятка:
Волович М. Б. «Математика 5»
1. Изучение операций с дробями. Случай деления на 0 не упоминается.
Виленкин Н.Я и др. «Математика 6»
1. Деление дробей. Случай деления на 0 не рассматривается.
2. Дробные выражения:
Деление на 0 не упоминается.
Дорофеев Г.В. и др. «Математика 6»
1. Основные сведения о дробях - основное свойство дроби:
2. Деление целых чисел. «На нуль, как обычно делить нельзя».
Истомина Н.Б. «Математика 6 класс»
1. Дроби и дробные выражения.
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6»
1. Деление обыкновенных дробей: «На нуль делить нельзя».
2. Деление рациональных чисел: «Обоснуй, что делить на 0 нельзя».
Теляковский С.А. «Алгебра 7»
1. Уравнения с 1 переменной и его корни: «Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от 0 число, то получится уравнение, равносильное данному».
2. Нахождение корней линейного уравнения с 1 переменной: используется деление на не нулевой коэффициент.
3. Функция, график функции: нахождение области определения функции.
Пример:
Алимов Ш.А. «Алгебра 7»
1. Алгебраические равенства, формулы. Использование буквенных выражений:
2. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.
3. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби.
4. Функция, график функции. Тема не упоминается, понятие области определения не вводится.
5. Определение функции обратной пропорциональности для положительных Х. Неявное указание области определения.
Макарычев Ю. Н. «Аалгебра 7»
1. Выражения с переменными.
Далее приводятся задания для определения области допустимых значений переменной и нахождения значений переменных, при которых выражение не имеет смысла.
2. Уравнение с одной переменной: задания вида «укажите область определения уравнения»:
3. Функции и их графики. Область определения функции:
Пример задания:
Теляковский С. А. «Алгебра 8»
1. Рациональные дроби и их свойства.
2. Сокращение дробей, основное свойство дроби:
3. Деление дробей.
4. Функция .
5. Решение дробных рациональных уравнений
Мордкович А. Г. «Алгебра 8»
1. Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраических дробей.
Случай деления на 0 не рассматривается.
2. Решение рациональных уравнений.
3. Гипербола, график гиперболы.
Случай 0 в знаменателе не рассматривается.
Алимов Ш. А. «Алгебра 9»
1. Функция, область определения функции.
2. Элементы тригонометрии. Пример применения темы:
3. Повторение - решение уравнений. Примеры:
Мордкович А. Г. «Алгебра 9»
1. Рациональные неравенства
2. Системы уравнений
3. Функция, область определения
4. Функция и её график.
5. Тригонометрические функции.
Анализ приведенного материала
Проанализировав основные учебники, можно сделать вывод, что во всех учебниках 8 класса тема «рациональные уравнения» излагается довольно полно, однако, пропедевтика этой темы не приводится на достаточном уровне ни в одном учебнике. Отсюда у учащихся непонимание логики решения уравнений данного вида, формальный подход к их решению. Кроме того, в связи с частым использованием подобных уравнений в последующих темах, также необходимо повторение темы в 9 классе, которое в учебниках также мало представлено.
Темы, в которых затрагивается изучаемый раздел:
· Введение операции деления
· Изучение операций с дробями, основное свойство дроби.
· Деление целых чисел
· Деление рациональных чисел
· Уравнения с 1 переменной и его корни
· Функция, график функции: нахождение области определения функции
· Выражения с переменными
· Рациональные дроби и их свойства, деление дробей
· Функция «обратная пропорциональность»
· Решение дробных рациональных уравнений
· Элементы тригонометрии
· Рациональные неравенства
· Системы уравнений
Метод - умножения дробей на их общий знаменатель.
Для примера решим дробное рациональное уравнение
(1)
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т е на выражение . Получим целое уравнение
.(2)
Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в 0. Поэтому каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).
Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
Его корни - числа -2 и 5.
Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 - корень уравнения(1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. Решить получившееся целое уравнение;
4. Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.
Метод, использующий равенство дроби 0.
Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение
Страницы: 1, 2
