Знание индивидуальных доминантных подструктур мышления учащихся может оказать существенную помощь и при организации на уроке групповой работы. Если вместе объединяются дети с разными доминантными подструктурами, то сплоченной работы, единомыслия ожидать от них трудно. Такие группы целесообразно создавать в тех ситуациях, когда дети должны выработать разные точки зрения, разные подходы, разные решения. Помогает такая форма организации и тогда, когда мы хотим, чтобы сверстники помогли своему товарищу принять ИНОЙ взгляд, позицию, другое решение. Собрав в группу детей с одинаковой подструктурой мышления, можно быть уверенным, что они легко и быстро поймут друг друга и их совместная работа будет быстро продвигаться, окажется продуктивной.

Сторонники самого распространенного, четвертого подхода (Ж. Адамар, А.Я. Хинчип, С.И. Шварцбурд, А. Пуанкаре и др.) характеризуют математическое мышление как абстрактное, логическое, обладающее способностью к формализации, обобщению, пространственным представлениям и др., т.е. наделяют качествами, которые фактически определяют характеристику мышления не только в математической, по и в любой другой предметной области.

Среди характерных черт математического мышления называют абстрактность, широту, глубину, гибкость и другие качества. Так, например, Г. Хемли выделил три вида операций: классификацию, порядок и соответствие, считая, что они наиболее полно характеризуют действия с любым математическим материалом.

В исследованиях К. Дупкера в качестве условий, способствующих развитию мышления в области математических объектов, выделены широта, гибкость и способность абстрагироваться от конкретного содержания. Он отмечает: "Плохой математик не может легко осуществить преобразование потому, что мыслимое им содержание не является относительно неподвижным, жестким и поэтому с трудом поддающимся перестройке" [14. с. 231].

Н. Манер [15] также придает большое значение гибкости мышления и процессе решения задач, в том числе и математических. Он полагает, что привычный способ действия тормозит выработку правильного решения, создаст трудности в использовании различных подходов.

Особенно важным в решении задач считается способность к генерализованному пониманию ситуации, к схватыванию структурных соотношений и обобщенном виде [16]. В результате интроспективного исследования структуры математического мышления В. Хаекер и Т. Циген выделили компоненты, составляющие, по их мнению, "ядро" такого мышления [1]:

1) пространственное -- понимание пространственных фигур, образов и их составляющих, память па пространственные образы, пространственные абстракции;

2) логический -- образование понятий (типа "синус", "тангенс" и т.п.) и понятий абстракций; понимание, запоминание и самостоятельное выведение общих понятийных связей, заключений и доказательств по правилам формальной логики, образование числовых представлений, память на числа, числовые решения;

3) символический -- понимание и запоминание символов, операции с ними.

Специфика математического мышления и его особенности отмечаются во многих работах математиков-педагогов. Так, А. Пуанкаре и Ж. Адамар, с одной стороны, отмечали специфичность мышления математика, проявляющуюся в свойственной ему "математической индукции", подсознательной творческой работе, указывая, что математическое творчество связано с общим интеллектом, творчеством вообще; с другой стороны, говорили о необходимости особого логического мышления.

Большое значение придавал роли "бессознательного мыслительного процесса" русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Он писал: "Мышление математика ...глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая па поверхность, то погружаясь в глубину ...Математик не осознает каждого шага мысли, как виртуоз -- движений смычка". В качестве наиболее важных компонентов мышления он считал "сильную память" па "предмет того типа, с которым имеет дело математика" (память на идеи и мысли); "остроумие" как способность "обнимать в одном суждении" понятия из двух малосвязанных областей мысли; быстроту мысли [17].

Учитывая, что математическое мышление имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой методов обучения, Ю.М.Колягин отмечает, что математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению, т.е. гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность [18].

С.И. Шварцбурд, указывая на ряд компонентов, влияющих на развитие учащихся, обращает внимание на шпроту пространственных представлений; умения отличать существенное от несущественного, абстрагироваться, абсолютно мыслить; способность перейти от конкретной ситуации к математической формулировке вопроса, к схеме, сжато характеризующей существо дела; навыки дедуктивного мышления; умение анализировать, критиковать и ставить новые вопросы; владение достаточно развитой математической речью; обладание достаточным терпением при решении математических задач [19, с.33].

А.И. Маркушеничем в характеристике математического мышления выделены: умения вычленять сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей, абстрагироваться, строить такую схему явления, в которой присутствует только то, что нужно для математической трактовки вопроса, а именно: отношения порядка, принадлежности, количества и меры. пространственного расположения, умения схематизировать; выводить логические следствия из данных предпосылок; анализировать данный вопрос, вычленяя из пего частные случаи, различать, когда они исчерпывают все возможности и когда они являются лишь примерами; умение применять выводы, полученные из теоретических рассуждении, к конкретным вопросам и сопоставлять результаты с тем, что теоретически предполагается, оценивать влияние изменяющихся условий по надежности результата; умение обобщать полученные выводы и ставить новые вопросы в обобщенном виде [20, с. 3-14].

В.А. Гусев указывает следующие характерные черты математического мышления, которые формируются у подавляющего числа учащихся при изучении математики а средней школе: 1) четкость формулировки проблемы, задачи, задания; 2} понимание предлагаемого математического материала; 3) строгость изложения материала; 4) память.

Как утверждает В.А. Гусев, "понять какое-нибудь явление -- это значит раскрыть в нем существенное, осознать причины его возникновения, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Можно по-разному относиться к такой трактовке, но следует уяснить одно, что акт понимания не может быть сиюминутным, он охватывает множество взаимосвязанных параметров, а поэтому критика типичного для учителей вопроса правомерна" [21].

Одним из важнейших качеств математического мышления М.В. Потоцкий считает "умение расчленять комплексы, в частности, обнажить логическую структуру рассуждения, умение отделить то, что доказано, от всего привнесенного...", а также умение "оторвавшись от проторенных путей, или иногда идя по мим, сразу заметить тот путь, который ведет от исходных предпосылок к намеченным конечным выводам" [22, с. 130]. При этом он отмечает, что математическое мышление надо развивать путем преодоления трудностей п решении целесообразно подобранных задач [22, с. 136].

А.Я. Хинчин, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике, к своеобразным чертам математического мышления относил следующие четыре характерных признака.

1. "Для математики характерно доведение до предела доминирования логической схемы рассуждения... Эта своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся пи в одной другой науке, имеет в себе много цепного... Она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной".

2. "Лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации".

3. "Четкая расчлененность хода аргументации",

4. Скрупулезная точность символики. "Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания" [23, с. 141-144].

Конечно, эти черты специфичны, по все же они отражают лишь внешние стороны математического стиля мышления. Происходящая сейчас широкая математизация науки привела к тому, что все они стали присущи и стилю многих других наук, не только естественных (физики, химии и др.), но и таких, как лингвистика, экономика и т.д.

Представители пятого подхода связывают математическое мышление с понятиями "способности" и "обобщения".

Пониманию сути, содержания и способов математического мышления помогают выделенные специалистами личностные и мыслительные качества, характеризующие деятельность математиков при решении математических проблем, задач. А.Н. Колмогоров такими качествами считал нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила ("алгоритмические способности"), геометрическое воображение или "геометрическую интуицию", искусство последовательного, правильного расчлененного логического рассуждения, л частности, понимание и умение правильно применять принцип индукции [24, с. 9-10]. Б.В.Гнеденко в ряде работ [25; 26; 27] в качестве основных требований к математическому мышлению выдвигает способность улавливать нечеткость рассуждений, необходимость полноценного логического аргументирования, четкую расчлененность хода рассуждений, лаконизм, точность символики.

В.А. Крутецкий отмечает, что мышление способных к математике учеников отличается следующими характеристиками: быстрым и широким обобщением; стремлением мыслить свернутыми умозаключениями; большой подвижностью мыслительных процессов; свободным переключением от одной умственной операции к другой; тенденцией к ясности, простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения. Как указывает этот автор, самое главное при обучении математике -- формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. В его исследовании специфической способностью относительно математического материала выступала "способность к обобщению математических объектов, отношений и действий" [28, с. 385--386, 389]. Существуют разные пути достижения этого в зависимости от индивидуально-типологических особенностей школьников. Учителю следует руководствоваться теми особенностями, которые наиболее сильно выражены, и, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфические слабые черты математического мышления.

В исследовании В.А. Крутецкого были обнаружены два способа обобщения: постепенное, к которому учащийся приходит в результате длительного решения однотипных задач, и обобщение "с места" -- на основе анализа решения одной задачи, "...не испытывая затруднений, без помощи экспериментатора, без специальной тренировки в решении однотипных задач" [28, с. 264-265]. Первый способ, как показал В.В. Давыдов, есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй -- теоретическое. Они обусловливают особенности двух типов мышления -- рассудочно-эмпирического и теоретического [29].

По определению В.А. Крутецкого, основными характеристиками математического мышления являются [28]:

1) способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

2) способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

3) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

4) способность к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению, связанному с потребностью в доказательствах, обоснованиях, выводах;

5) способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

6) способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

7) гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов, Эта особенность нужна в творческой работе математика;

8) математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память па обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

9) способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия,

Сторонники шестого подхода считают, что математическое мышление является мышлением теоретическим и имеет такую же последовательность становления от эмпирического к аналитическому, к планирующему, рефлексирующему (Р. Атаханов, В.В. Давыдов, Ле Тхи Кхань Кхо, Л.К. Максимов и др.).

Л.М. Фридман пишет: "Думается все же, что математическое мышление, особенно современное, имеет свою специфику, сном особенности, отличающие его от мышления в других науках... Специфику математического мышления следует искать не в ее методах, которые действительно широко сейчас применяются в других науках и поэтому получают все больше и больше статус всеобщих методов познания, а в ее объектах" [30, с. 39-- 40]. Исходя из этого, он дает следующее определение: "Математическое мышление -- это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения" [30, с. 41].

Математическое мышление, которое должно быть сформировано у учащихся в процессе обучения математике, Л.М. Фридман считает составной частью общей культуры мышления. По его мнению, "культурное мышление -- это такое, при котором использование разных способов и приемов мышления совершается в определенной, строгой системе, в полном соответствии с характером решаемой мыслительной задачи" [30, с. 44]. Однако он отмечает, что математический стиль мышления в наиболее яркой фор-ме выражает научно-теоретический стиль мышления вообще. Культура мышления характеризуется им такими признаками, как разумность, логичность и дисциплинированность.

Л.К. Максимовым были разработаны методики, позволяющие выявить особенности проявления на математическом материале таких мыслительных действий, как анализ, рефлексия, планирование. С его точки зрения, "показателем развития математического мышления школьников служит наличие у них возможности ориентироваться на рефлексию и внутренний план действия". Иными словами, "математическое мышление предполагает такой тип ориентации, который характерен для теоретического мышления" [5; 6; 7]. В результате проведенного экспериментального исследования Л.К. Максимовым было установлено, что эмпирический уровень математического мышления имеет более ранние, а теоретический -- более поздние возрастные проявления. Например, число учащихся обычных классов, правильно выполнивших задания на рефлексию, возрастало от 8,1% в I классе до 13,5% в III. На основании этих данных был сделан вывод о том, что имеется определенный период перехода от эмпирического уровня математического мышления к теоретическому. Ле Тхи Кхань Кхо отмечает, что "можно зафиксировать следующие переходы в развитии мышления: от эмпирического к теоретическому, а внутри теоретического -- от аналитического уровня к рефлексирующему" [31].

Р. Атахапов выделил следующие уровни развития математического мышления: эмпирический, уровень анализа, планирования, рефлексии (последний и является теоретическим, собственно математическим мышлением) [32].

Таким образом, мы рассмотрели основные подходы к трактовке феномена математическое мышление в психолого-педагогической литературе. Мышление как процесс, характеризующий активность личности, получает свое наибольшее развитие в деятельности. При изучении математики такой деятельностью является процесс решения учебных задач, т.е. процесс непрерывного взаимодействия по знающего субъекта с познаваемым объектом.

Итак, математическое мышление является составной частью мышления вообще. Тем не менее, оно обладает некоторыми особенностями, прежде всего связанными со спецификой отражения математикой реальной действительности, Если в естественных пауках, с которыми математика наиболее связана, результаты получаются на основе эксперимента, то в математике эксперимент играет лишь вспомогательную роль, являясь средством построения гипотез. Математика, абстрагируясь от конкретного, обладает высокой степенью общности за счет построения многоступенчатых абстракций. Формирование этих абстрактных конструкций оказывает решающее влияние на так называемое "абстрактное мышление". Это та категория мышления, без учета которой невозможно научить учащихся приложениям математики. Следующей особенностью математического мышления является строго детерминированное построение его логического аппарата, при этом методы рассуждения (аналогия, индукция и т.д.), так называемые эвристические методы, являются лишь вспомогательными средствами. В математике тот или иной факт либо доказывается с исчерпывающей обоснованностью, либо беспощадно отбрасывается. Такие жесткие требования в некоторых случаях пугают детей, и сложность состоит в постоянном приучении их к полноте и обоснованности аргументации.

В концепции школьного математического образования выделены основные цели обучения -- это обучение учащихся приемам мышления и методам познания, формирование у них качеств математического мышления, математических мыслительных способностей и умений. Иными словами, одна из основных задач школьного математического образования -- это развитие математического мышления. Важность исследований отмеченной проблемы усиливается возрастающим значением и применением математики и различных областях науки, экономики и производства.

Список литературы

1. Голиков А.И. Развитие математического мышления средствами динамических интеллектуальных игр преследования. Новосибирск, 2002.

2. Трегуб Л.С. Элементы современного введения в матанализ. Ташкент, 2003.

3. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод, пособие. Киев, 1983.

4. Фрейденталъ Г. Математика в науке и вокруг нас. М., 1977.

5. Максимов Л.К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения // Вопросы психологии. 2002. № 2.

6. Максимов Л.К. Психические особенности математического мышления школьников. Сообщение 1. О понятии "математическое мышле-ние" в современной психолого-математической литературе // Новые исследования в психологии. 2004. № 1.

7. Максимов Л.К. Развитие математического мышления младших школьников в условиях учебной деятельности: Автореф. дисс. докт. психол. наук. Москва, 2003.

8. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике в школе. М., 2008.

9. Вейлъ Г. Математическое мышление. М., 2005.

10. Пиаже Ж. Структуры математики и операторные структуры мышления. М„ 2000.

11. Каплунович И.Я. Психологические закономерности генезиса математического мышления // Математика в вузе и школе: обучение и развитие: Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 2007.

12. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М., 1999.

13. Каплунович И.Я. Измерение и конструирование обучения в зоне ближайшего развития // Педагогика. 2002. № 10.

Страницы: 1, 2