Наиболее распространенные в математике виды абстракций - обобщающая абстракция (или абстракция отождествления), идеализация и различные абстракции осуществимости - используются и в школьном обучении математике. Однако методически формирование этих абстракций не разработано. Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серьезные затруднения, с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки.

Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установлении отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.

Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие (эквивалентные множества). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества) из данного класса.

Так формировалось понятие натурального числа в длительном историческом процессе, так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников.

Абстрагирование в математике часто выступает как многоступенчатый процесс, результатом которого являются абстракции от абстракций.

Рассмотрим пример.

Отношение подобия фигур разбивает множество всех фигур на классы эквивалентности (классы подобных фигур). Все фигуры одного класса характеризуются одинаковостью формы. По существу каждый такой класс можно называть формой. Но эта форма определяется любой фигурой (любым представителем) этого класса.

В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования. В частности, образование классов эквивалентности, как правило, протекает неявно. Наблюдается свойство у некоторых предметов данного рода или отношение между ними, которое затем абстрагируется от этих предметов и становится самостоятельным понятием. Часто, ничего не говоря о классах эквивалентности, мы сразу же пользуемся представителями этих классов.

Педагогический подход, состоящий в замене класса его представителем, направлен на понижение уровня абстрактности понятий (направленный отрезок - менее абстрактное понятие, чем класс таких отрезков).

Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности, а следовательно, и при обучении математике используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.

Под идеализацией имеется в виду образование понятий, наделенных не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторыми воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов.

Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспитательное значение, раскрывая связь абстрактных, идеализированных понятий с реальным миром. Оно способствует также пониманию способа математизации, построения математических моделей реальных ситуаций.

Действительно, нигде в природе не встречается «геометрическая точка» (не имеющая размеров), но попытка построения геометрии, не использующей этой абстракции, не приводит к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как «прямая линия», «плоскость», «шар» и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, а некоторые несколько отклоняются от «идеальной» формы шара (как, например, земля), но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами, неровностями и отклонениями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Поэтому мы изучаем «идеализированную» форму шара и, хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам, лишь похожим на шар, дает некоторую погрешность, полученный приближенный ответ достаточен для практических потребностей. Это должно быть доведено до сознания учащихся.

Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее в десятичной записи слишком много цифр (например, 10). Нам достаточно допустить возможность, как только дошло до некоторого числа п, написания и следующего за ним числа n + 1. Точно так же при изучении геометрии, пользуясь изображениями лишь конечных участков (отрезков) прямой, мы допускаем возможность неограниченного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления отрезка или других фигур.

1.2.4 Индукция и дедукция

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.

Дедукция в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, то есть по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).

Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, то есть идем от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, то есть от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности. В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, но когда в результате беседы они сами смогут сделать определенное заключение обобщающего характера, или сформулировать правило, или доказать теорему, или вскрыть некоторую закономерность. Индуктивный метод больше активизирует учащихся, но от учителя требует творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, то есть иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум способам объяснения материала:

1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции);

2) дедуктивно-индуктивному способу, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями.

В математике имеется много приверженцев как индуктивного, так и дедуктивного метода. На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход, ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более активному усвоению материала

Однако, как при индуктивном, так и при дедуктивном методах при изложении новых понятий или новых общих теорий необходимо значительное время отводить на конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. В методике преподавания каждое высказывание в категорической форме легко можно довести до абсурда. От самого учителя зависит оптимальный выбор метода, позволяющего на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.

В математике используются различные виды индукции: полная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере. Надо определить сумму n первых нечетных чисел: 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1).

Обозначив эту сумму через S(n), положим n == 1, 2, 3. 4, 5; тогда будем иметь:

S(1)=1,

S (2)=1+3=4,

S(3)=1+3+5=9,

S(4)=1+3+5+7=16,

S(5)=1+3+5+7+9=25.

Мы наблюдаем интересную закономерность: при n = 1, 2, 3, 4, 5 сумма n последовательных четных чисел равна n2. Но заключение по аналогии, что это имеет место при любом n, сделать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, то есть предположим, что для какого-то числа n наша формула верна, и попытаемся доказать, что тогда она верна и для следующего числа n + 1. Итак, мы полагаем, что S (n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.

Вычислим

S (п + 1) = 1+3+5 +...+(2n-1)+(2n+1).

Но по предположению, сумма п первых слагаемых равна п2, следовательно,

S (n + 1)= n2 + (2 п + 1) = (n + 1)2.

Итак, предположив, что S (п) = n2 , мы доказали, что S(n + 1) = (n + 1)2. Но выше мы проверили, что эта формула верна для п = 1, 2, 3, 4, 5, следовательно, она будет верна и для п = 6, и для п = 7 и т. д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых. Этот метод доказательства называется методом математической индукции.

Умозаключения делятся на логически необходимые и вероятностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь вероятностные (или правдоподобные) заключения.

Единство дедукции и индукции, как в обучении, так и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математике - науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук, как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.

1.3 Математические методы познания

Математическое моделирование

Большинство психологов под «моделью» понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы-оригинала. Наличие отношения частичного подобия («гомоморфизм») позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой системы.

Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.

Вот некоторые примеры моделей:

1) архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8