Первый параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».
Свойства и признаки параллелограмма объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что из определения прямоугольника следует параллельность его противоположных сторон, то есть прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.
Свойства и признаки ромба также объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, так как он является и прямоугольником, и ромбом. Еще один вид четырехугольника, а именно трапеция, изучается после теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определены термины основания, боковые стороны трапеции. Доказана теорема о средней линии трапеции.
Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
· в каждом учебнике свой порядок изучения частных видов четырехугольников
· в каждом учебнике представлен большой объем упражнений для закрепления основных знаний, умений и навыков по данной теме.
2.2 Методика изучения темы «Четырехугольники»
2.2.1 Введение понятия «Четырехугольник»
Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:
- в учебнике Л.С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;
- в учебнике А.В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».
В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Для более наглядного представления полезно составить следующую схему:
Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон - множество параллелограммов.
Структурно - логическая схема основных классов геометрических фигур, составляющих её, имеет вид:
При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон - не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:
ь четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;
ь трапеции (одна пара параллельных сторон);
ь параллелограммы (две пары параллельных сторон).
За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники).
В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты).
При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты).
Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные.
Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов - прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников - квадраты.
Выяснение этого генезиса - происхождения одной фигуры из другой - помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат. Представим это на схеме. Такую схему полезно использовать при обучении школьников.
2.2.2 Частные виды четырехугольников
Во всех действующих в настоящее время пособиях (см. [1], [2], [14], [18]) осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:
ь дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);
ь указываются элементы;
ь формулируются и доказываются свойства и признаки;
ь рассматривается задача на построение этого четырехугольника.
Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других - квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.
· легко выявляется логическая структура темы. Полезно использовать структурно-логические схемы;
· используются формально-логические определения (через ближайший род и видовое отличие).
Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:
1. Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид.
2. Указываются видовые отличия и связь между ними.
Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Род - четырехугольник. Видовое отличие, - у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
2.3 Изучение свойств и признаков четырехугольников
Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т.д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
Например:
Свойства
Признак
Теорема: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Дано:
- параллелограмм
Доказать:
1.
2.
Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
- четырехугольник
При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, не верно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации, например, используя круги Эйлера.
В курсе планиметрии основным способом помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. В самом деле, что мы представляем себе, когда произносим или читаем слово «параллелограмм». Обычный параллелограмм, с диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. Создание такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, приводимых учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: «Что вы знаете о трапеции?», «Перечислите все свойства прямоугольника» и т.д.
Таким образом, обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий.
Каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы.
В различных учебниках изложение материала рассмотрено по-разному, по этому учителю нужно сочетать свою работу с материалом изложения на страницах других учебников.
2.3 Применение методов научного познания при изучении четырехугольников
Рассмотрим возможности использования методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники».
2.3.1 Анализ и синтез
Как было сказано в первой главе, эмпирические методы не являются характерными для математики, поэтому они не применяются для изучения четырехугольников.
Наиболее часто в изучении четырехугольников применяют логические методы познания. Анализ наиболее часто применяется для решения задач на доказательство.
Пример 1. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
Дано: ABCD - параллелограмм,
A=90?.
Доказать: ABCD - прямоугольник.
Анализ:
Пример 2. Доказать, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
AC - диагональ.
Доказать: ABCD - ромб.
В приведенных примерах видно как после проведения анализа нужно решать задачу. В данных случаях применяется восходящий анализ. Рассмотрим пример применения нисходящего анализа.
Пример 3. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенной с произведением оснований.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8