2 занятие: «Простейшие задачи в координатах». (урок - закрепление)

Общеобразовательная цель урока: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний, полученных на прошлом уроке.

Содержание урока:

Ш В начале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке.

Устный счет: записать координаты

?Середины отрезка ?Координаты вектора

· Длины вектора

· Расстояние между точками М и N.

Ш Решение задач.

1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0,1), В(1,-4), С(5,2).

2. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если N(6,1), P(7,4), Q(2,4), М(1,1). [2: № 950(а)]

Ш Самостоятельная работа.

Ш Домашнее задание №945, 948(а)

II. Факультатив.

Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.

Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).

При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.

Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

s1=2s2 (1)

Выразим s1 и 2s2 через координаты:

, .

Имея в виду (1), получим .

Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.

Решение:

Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:

.

Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.

Это равенство можно переписать так:

или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.

Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:

a2+b2=R2,

(c-a)2+b2=R2,

(q-a)2+(h-b)2=R2.

Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

, ,

.

Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.

Домашнее задание:

1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?

2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до сторон квадрата постоянна.

Краткий анализ проведенных занятий: Учащиеся на уроках активно принимали участие, особенно на первом при выводе формул, так как материал не сложный и использует факты и понятия, которые были изучены не так давно и повторены на устном счете. Также на 1 уроке удалось прорешать все запланированные задачи на закрепление, особую трудность вызвала задача № 3, в которой учащиеся долго не могли сделать чертеж и путались в формулах нахождения длины и координат вектора. Проведенная на следующем уроке самостоятельная работа показала, что практически все ученики усвоили материал (с работой не справились 2 человека из 26 учеников этого класса). Наибольшее количество ошибок было сделано в задаче № 2, при использовании формулы нахождения расстояния между 2 точками. Таким образом, можно предположить, что тема «Простейшие задачи в координатах» была успешно усвоена большинством учеников данного класса.

Заключение

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.

В данной дипломной работе:

o проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;

o описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;

o выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.

Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.

Библиографический список

1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов - М. Просвещение, 1988г. - 127с.

2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина - М. Просвещение, 1992г.- 335с.

3. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 1989г. - 304с.

4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. - М. Мнемозина, 2001г. - 304с.

5. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с.

6. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова - М. Просвещение, 2000г. - 368с.

7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова - М. Дрофа, 1998г. - 416с.

8. Изучение координат в III - IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе - 1983г.- №4

9. Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе - 2001г. - № 8

10. Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе - 2002г. №5

11. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе - 1983г.- №2

12. К началу обучения геометрии 1-7 кл. // Математика в школе 1983г. - №6

13. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева - Киров ВГПУ, 1995г.

14. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко - М. Просвещение, 1988г. - 233с.

15. Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. - №9

16. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев - М. Просвещение 1987г. - 416с.

17. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] - М. Просвещение, 1991г. - 383с.

18. Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика - Приложение к газ. «Первое сентября» - 2004г. №29

19. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика - Приложение к газ. «1 сентября» - 2004г. №12

20. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе - 1989г. - №1

21. Обсуждение одного учебника / И.Е Феоктистов // Математика в школе -2001г. №5

22. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классов средней школы - М: Просвещение, 1990г. - 384с.

23. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] - М. Наука, 1987г. - 128с.

24. Программа по математике для средней школы - М. Просвещение, 1998г. -205с.

25. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] - М. Просвещение, 1995г. - 240с.

26. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст] - М. Просвещение, 1974г.- 315с.

27. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе - 2001г. - №10

28. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] - М. Дрофа, 2000г. -368с.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5