Рефераты. Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра математического анализа и

методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Изучение темы "Треугольники"

в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

Выполнила студентка математического

факультета группы М-41

Михеева М.А.

Научный руководитель Ошуева Е.С.

Киров 2003

Содержание

Введение

§ 1 Анализ школьных учебников по теме: "Треугольники" в 7-9 классе
п. 1 Содержание и порядок изложения материала
п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме
п. п. 1 Определение треугольника
п. п. 2 Равнобедренный треугольник
п. п. 3 Признаки равенства треугольников
п. п. 4 Признаки подобия треугольников
§ 2 Конспекты итоговых уроков по теме "Треугольники" для 7-9 классов
п. 1 Обобщающий урок по теме "Признаки равенства треугольников"
п. 2 Обобщающий урок по теме "Равнобедренные треугольники. Высоты, медианы, биссектрисы треугольника"
п. 3 Итоговый урок по теме "Подобные треугольники"
п. 4 Итоговый урок повторения и обобщения по теме "Треугольники"
Заключение
Библиографический список
Приложение

Введение
Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Поэтому очень важно представлять себе методику изложения этой темы в различных учебных пособиях для правильного построения курса и избежания методических ошибок.

Данная работа проведена с целью, проследить методику изложения темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 класса средней школы, а также подготовить конспекты итоговых уроков по данной теме.

Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике. Это учебники А.В. Погорелова Геометрия 7-11 (8 издание), Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. Геометрия 7-9, А.П. Киселёва Геометрия 7-9, И.Ф. Шарыгина Геометрия 7-9.

Цель:

Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы.

Проследить соответствие материала учебников содержанию обучения, принятого министерством образования Р.Ф.

Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы.

Разработать 4 конспекта уроков итогового повторения.

§ 1 Анализ школьных учебников по теме: "Треугольники" в 7-9 классе
п. 1 Содержание и порядок изложения материала
Л.С. Атанасян и др.
Геометрия 7-9
А.В. Погорелов
Геометрия 7-11
А.П. Киселёв
Геометрия 7-9
И.Ф. Шарыгин
Геометрия 7-9
Начальные
геометрические сведения
Треугольники
Параллельные прямые
Соотношения между сторонами и углами
Четырёхугольники
Площадь
Подобные треугольники
Окружность
Векторы
Основные свойства простейших геометрических фигур
Смежные и вертикальные
углы
Признаки равенства треугольников
Сумма углов треугольника
Геометрические построения
Четырёхугольники
Теорема Пифагора
Декартовы координаты на плоскости
Движение
Векторы
Подобие фигур
Решение треугольников
Многоугольники
Площади фигур
Прямая линия
Углы
Математические предложения
Треугольники
Основные задачи
на построение
Параллельные прямые
Параллелограммы
и трапеции
Окружность
Подобные фигуры
Понятие об измерении величин
Подобие треугольников
Подобие многоугольников
Подобие фигур произвольного вида
Некоторые теоремы о пропорциональных отрезков
Метрические соотношения между элементами треугольника
Пропорциональные линии в круге
тригонометрические функции острого угла
Первые понятия геометрии
Основные свойства плоскости
Треугольник и окружность. Начальные сведения
Виды геометри-ческих задач и методы их решения
Параллельные прямые и углы
Подобие
Метрические соотношения в треугольнике и окружности
Задачи и теоремы геометрии
Содержание рассмотренных выше учебников соответствует содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит её.
п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме
п. п. 1 Определение треугольника
Существуют два подхода к определению треугольника:
1 подход. Понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. Такой подход реализован в учебнике Атанасяна и в учебнике Погорелова. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от теоретико-множественной концепции и от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений). Но и здесь есть существенные различия.
В книге Погорелова даётся следующее определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки". Смысл выражения "отрезок соединяет точки" нигде не объяснён. Хотя об этом и легко догадаться; но смысл слова "попарно" совсем не очевиден для семиклассника. Кроме того, определение существенно зависит от обозначений, чего явно в формулировке не указано. В целом, формулировка воспринимается как тяжеловесная и трудная для понимания. У Атанасяна определение чисто конструктивное, оно наглядно и легче воспринимается школьниками.
2 подход. Понятие треугольника даётся как частный случай многоугольника, но в этом понятии говорится не только о фигуре образованной замкнутой линией, но и о части плоскости ограниченной этой замкнутой линией. Этот подход реализован в учебниках Киселёва и Шарыгина. Здесь определение треугольника отдельно не рассматривается. Впоследствии Атанасян и Погорелов всё же обращаются ко второму подходу в теме "Многоугольники" т.к это понятие им потребуется для определения понятия площади.
Определение равенства треугольников во всех четырёх учебниках даётся через совмещение равных фигур путём наложения. Но в учебниках со вторым подходом подразумевается, что и плоскости треугольников также совмещаются наложением.
п. п. 2 Равнобедренный треугольник
Определение равнобедренного и равностороннего треугольника одинаковое во всех учебниках. Такое определение является общепринятым в математике.
В учебниках Киселёва и Шарыгина свойства равнобедренного треугольника рассматриваются в одной теореме. Доказательства проводятся аналогично, с использованием осевой симметрии относительно биссектрисы треугольника и определения равных треугольников. В силу того, что ни Атанасян, ни Погорелов не используют движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников.
Атанасян в доказательстве свойств равнобедренного треугольника пользуется первым признаком равенства треугольников. В книге Погорелова свойства равнобедренного треугольника доказываются с использованием определения треугольника как упорядоченной тройки точек, но ни где не поясняется, что ДCAB и ДCBA это разные треугольники, а не один и тот же по-разному обозначенный. Такое доказательство учениками 7 класса понимается довольно трудно. Автор, уклонившись от явной формулировки определения треугольника как ориентированного пути, ставит ученика лицом к лицу с рассуждениями, которые может понять только тот, кто совершенно чётко представляет себе треугольник как ориентированный путь (это хоть и не явное, но обращение к теоретико-множественному подходу, который так тщательно избегается). Поэтому такие доказательства воспринимаются учениками как цирковой фокус.
Признаки равнобедренного треугольника в учебнике Атанасяна не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезные. В учебнике Погорелова приводится один признак (через равенство углов при основании). Полностью все признаки рассмотрены только у Шарыгина.
п. п. 3 Признаки равенства треугольников
Во всех четырёх учебниках применяется один и тот же подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному. Но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Погорелова эта аксиома формулируется, но непосредственно при доказательстве на неё ссылки не делаются. Лишь после доказательства первого признака равенства треугольников проводится подробный разбор его с указанием используемых в доказательстве аксиом. Это введено с целью, сделать доказательство более строгим, чем, например доказательство, приведённое у Киселёва. Как нам кажется, именно для этого автор вводит такое нетрадиционное определение треугольника.
Доказательства, приведённые в учебниках Атанасяна и Киселёва аналогичны. Но в учебнике Киселёва, исходя из введенного им определения треугольника, следовало бы ещё доказать, что плоскости треугольников так же совпадут при наложении (о чём в доказательствах даже не упомянуто). В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии (вместе с тем, в приложении в конце учебника подробно изложен вопрос о системе аксиом в курсе геометрии). По нашему мнению, большое преимущество по сравнению с учебным пособием Киселёва, имеет использование в учебнике Атанасяна в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем. Эти доказательства строятся по схеме: поиск равных треугольников > доказательство предполагаемого равенства > обоснование новых утверждений. Благодаря использованию признаков равенства треугольников легче усваиваются основные теоремы планиметрии (свойства и признаки серединного перпендикуляра, свойства равнобедренного треугольника, теорема о внешнем угле треугольника, свойства и признаки параллельных прямых и параллелограмма, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.п.). В учебнике Атанасяна первый признак рассматривается в отрыве от двух других. Это обосновано тем, что он является основой для доказательства свойств равнобедренного треугольника, облегчающих доказательство третьего признака равенства треугольников.

Страницы: 1, 2, 3