Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире.
Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывал академик А.Н. Колмогоров, "...более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии. "[4]
Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время; оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н.Я. Виленкин замечает: "Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики"[4]. Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.
Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами.
Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т.е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно.
Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике.
Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.
В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами.
Известно, что не каждое свойство объектов, явлений можно измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных - величинами латентными. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества "воля" судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величии или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется искусственным.
Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел.
На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение для формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.
Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о:
· понятии величины, способах ее измерения;
· роли и месте величин в познании природы;
· свойствах величины, ее видах;
· сути математической обработки результатов измерений и т.д.
Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения. Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т.д.
Глава 2 Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы
2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школы
В традиционной школе изучение величин начинается с длины предметов.
Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:
· Определение длины отрезка как вещественного числа;
· Описание процедуры измерения отрезка;
· Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;
· Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности).
Первые представления о длине, как о свойстве предметов, у детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком, как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.
Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине, не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой отрезок длиннее, красного или зеленого цвета?»
Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по длине практически - наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее) светлый или тёмный?» Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой - либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка. Здесь длина выступает как свойство отрезка.
Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей.
Случай, когда на перед заданное число рационально, аксиома Кантора применяется, а используется элементарное построение. Если это число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так: введем на прямой систему координат(начало 0, направления единицу измерения).Мы можем построить точки А1 и B1, где А1 = 2,3; B1 = 2,4 - приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то ОА1<OM<OB1, т.е. точка М лежит между А1 и B1, т. е. внутри отрезка А1 B1. Мы можем найти A2 = 2,31 и B2 = 2,32 и т.д.
Неограниченно продолжая этот процесс, мы получаем, что если точка М существует, то она лежит внутри каждого из отрезков бесконечной последовательности: A1B1, A2B2,…,AпBп,…, обладающей следующими свойствами:
1. Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего.
2. Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности).
Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой Кантора.
Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна наперед заданному числу х.
2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы
При изучении величин углов можно использовать следующую схему:
Общий обзор углов - углы с общей вершиной - градусное измерение углов.
В учебной методческой литературе угол определяется по разному:
Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки.[10, стр. 9],[6,стр 12]
Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из общей точки. [9, стр.8],[2,стр85-86]
Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки и пересекающих данный отрезок. [3, стр. 86]
Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками. [2, стр86]
Углом называется совокупность точки и двух лучей, выходящих из этой точки... Под точками угла мы понимаем его вершину и все точки его сторон. [16, стр18]
В школьной практике обычно употребляются первое или второе определение (по существу они являются не определениями, а описаниями).
При этом надо заметить, что если используется первое определение угла, то вводится еще и понятие внутренней области угла.
В последующем школьном курсе элементарной математики понятие угла расширяется (в тригонометрии - угол как мера вращения, в стереометрии -- угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и т. п.), причем понятие «неопределенной части плоскости» в явном виде уже не фигурирует. Поэтому первому определению следует отдать предпочтение.
Возможны следующие действия с величинами углов: сравнение, сложение вычитание величин углов, умножение угла на челое цисло и деление угла на целые части.
С понятиями прямого и развернутуго угла учащиеся знакомы из пропедевтического курса геометрии. Зная, что все развернутые углы равны между собой, и все прямые углы равны между собой, можно сообщить учащимся о том, что развернутый и прямой углы имеют постоянные величины (как и метр и килограмм, которые тоже имеют постоянную величину). Отсюда, естественно принять за единицу измерения углов угол, в часности прямой угол, как имеющий постоянную величину.
Величина угла - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) равные углы имеют равны градусные меры.;
2) если угол разбивается на части, градусные меры которых известны, то градусная мера всего угла равна сумме грусных мер этих углов.
3) меньший угол имеет меньшую градусную меру, и больший угол имеет большуюградусную меру.
При проведении уроков по теме «Величины углов» материал должен закрепляться на частных примерах. Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.
2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы
В теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на применении традиционно-синтетического метода.
При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:
простая фигура - площадь фигуры как величина - площадь прямоугольника - площадь параллелограмма - площадь трапеции - площадь подобных фигур.
Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет», «каркас»! Плоский треугольник - конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник - многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. После этого дается определение:
Страницы: 1, 2, 3, 4
