«Площадь простой фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) равные фигуры имеют равные площади;
2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;
3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;
В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.
С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника.
Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.
а) Прямоугольники ABCD и AB1C1D имеют равное основание AD. Пусть S и S1 - их площади. Разобьем сторону АВ на n равных частей, длина одной части равна . Пусть m - число точек деления, лежащих на стороне АВ1. Тогда: ?
Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:
б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АD. Получим n равных треугольников со сторонами АD и , площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение . Поэтому, площадь АВСD выражается неравенством:
.
Разделив почленно на S, получаем:
в) Отношение и удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа и отличаются на величину .При сколь угодно больших n значение становится очень малым, а это возможно только тогда, когда числа равны. Итак:
, ч. т. д.
Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем:
=; => S1=а, S=S1 в.
Следовательно:
S=ав.
Площади подобных фигур.
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если фигура разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через , а фигура - на треугольники, площади которых и фигуры и подобны с коэффициентом , то линейные размеры треугольников в раз изменены, по отношению к размерам треугольников , то: и т. д., поэтому:
Площадь круга.
Круг - плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь S, если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S.
При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.
2.4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школы
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело - объем тела как величина - объем прямоугольного параллелепипеда - объем треугольной призмы - объем призмы - тела, имеющие равные объемы - объем полной треугольной пирамиды - объем произвольной полной пирамиды - объем усеченной треугольной пирамиды - объем произвольной усеченной пирамиды - объемы подобных тел - объем тел вращения.
Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии.
Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей площади вызывало затруднения, но все же было возможным, то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при вычислении площадей.
Для вывода формулы объема, могут быть использованы:
1. Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины) соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).
2. Формула Симпсона:
Пусть промежуток [a,b] разбит на n частейных промежутков [xi, xi+1] длины , при этом n считается чётным числом, и для вычисления интеграла по промежутку [x2k, x2k+2] используется приведенная формула:
Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.
Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:
1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;
2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;
3. сравнение полученных значений отношений;
4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями: a,1,1; a,b,1; a,b,c.
При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:
1. проанализировать эмпирический материал;
2. математизировать эмпирический материал - построить определение;
3. составить алгоритм распознавания понятия;
4. включить понятие в систему понятий.
При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной трапеции.
Старшеклассникам следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для пирамиды и соответственно необходимость применения интегральных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие многогранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными.
Заключение
В работе были решены все поставленные во введении задачи, а именно рассмотрена история развития геометрических величин, охарактеризовано понятие геометрической величины, установлена роль и место величин, их измерений в процессе обучения, описана методическая литература по данной теме.
Понятие геометрической величины - одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии.
Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Характерным общим понятием для всех моделей является понятие "величина".
Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире
Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала - сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы.
Список используемой литературы
1. Багишова О.А. Измерение длин в ходе практических работ.// Математика в школе. №4 2005. Стр.62-64.
2. Бескин Н.М. Методика геометрии.- М.:Учпедгиз. 1947.
3. Богомолов С.А. Геометрия.-М.:Учпедгиз.1949.
4. Виленкин Н.Я. О понятии величины.// Математика в школе. №3 1973. Стр. 4-7.
5. Виноградова И.К. Методика преподавания математике в средней школе. Р-на-Д.: Феникс. 2005.
6. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Планиметрия. -М.: Учпедгиз. 1564.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение. 1982.
8. Гусев В.А. Методика обучения геометрии.- М.: ACADEMA. 2004.
9. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия.- М.: 35 Дуленова. 1915.
10. Киселев А.П. Геометрия ч. 1. Планиметрия.-М.: Учпедгиз. 1938.
11. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.- М.: Просвещение. 1999г.
12. Корешкова Т.А., Цукерман В.В. Многоугольники и их площади в
школьном курсе математики.// Математика в школе. № 3 2003.Стр. 70-73.
13. Кучугурова Н.Д. Методика преподавания математики. Частная методика.- Ставрополь: СТИ. 2004.
14. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. -М.:Просвещение. 1965.
15. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. -М.: Просвещение. 1987.
16. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. -М.: Гостехиздат.1948
17. Саранцев Г.И. Методика обучения математики в средней школе.-М.: Просвещение. 2002.
18. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. -М.:Учпедгиз. 1959.
Приложение 1
Аксиомы теории величин.
Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства величины, называемых теперь, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. п. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения физических тел или других объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму.
В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины a и b одного и того же рода или совпадают a = b, или первая меньше второй
(a < b), или вторая меньше первой (a > b). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода величины смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение неравенства a < b и операция сложения a + b = c удовлетворяют следующим аксиомам:
1) Каковы бы ни были a и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или a = b, или a < b, или a > b;
2) Если a < b и b < c, то a < c (транзитивность неравенства);
3) Для любых двух величин a и b существует однозначно определённая величина c = a + b;
4) a + b = b + a (коммутативность сложения);
5) a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения);
6) a + b > a (монотонность сложения) ;
7) Если a > b, то существует одна и только одна величина c, для которой b + c = a (возможность вычитания);
8) Каковы бы ни были величины a и натуральное число n, существует такая величина b, что a = nb (возможность деления);
9) Каковы бы ни были величины a и b, существует такое натуральное число n, что a < nb. Это аксиома называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На ней вместе с более элементарными аксиомами 1-8 основана теория измерения величин, развитая древнегреческими математиками.
Если взять какую-либо длину l за единичную, то система Sl всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет аксиомам 1-9. Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система Sl ещё не охватывает системы S всех произвольных длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к аксиомам 1-9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:
10) Если последовательности величин обладают тем свойством, что bn ? an < c для любой величины c при достаточно большом номере n, то существует единственная величина x, которая больше всех an и меньше всех bn.
Аксиомы 1-10 и определяют полностью современную теорию положительных скалярных величин. Если в системе положительных скалярных величин выбрать какую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде a = ?l, где ? - положительное действительное число.
Приложение 2
Тест для учащихся 8 класса на тему «Площади фигур».
1. Выберите верные утверждения:
а) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;
б) Площадь квадрата равна квадрату его сторон;
в) Площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.
2. Закончить фразу: Площадь ромба равна половине произведения…
а) его сторон;
б) его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;
в) его диагоналей.
3. По формуле можно вычислить площадь:
а) параллелограмма;
б) треугольника;
в) прямоугольника.
4. Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле:
а) S=AB:2•CD•BH;
б) S=(AB+BC):2•BH;
в) S=(AB+CD):2•CD•BH;
5. Выберите верное утверждение.
Площадь прямоугольного треугольника равна:
а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;
б) половине произведения его катетов;
в) произведению его сторон на проведенную к ней высоту.
6. В треугольниках ABC и MNK B=N. Отношение площадей треугольников ABC и MNK равно:
а)
7. В треугольниках MNK и DOS высоты NE и OT равны. Тогда SMNK:SPOS=…
а) MN:PO; б) MK:PS; в) NK:OS.
Приложение 3
Самостоятельная работа для учащихся 7 класса на тему «Измерение отрезков».
Вариант1
1. На отрезке АВ взяты точки М и N. Известно, что АВ=12см, АМ=8см, В N=10см. Найдите длину отрезка М N.
2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК на 4см.
3. Дан отрезок АВ=16см. Точка М - середина отрезка АВ, точка К - середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК:ВК=4 : 5.
Вариант2
1. На отрезке АВ длиной 12см взята точка С так, что АС=10см, и точка D так, что С D=5см. Найдите длину отрезка ВD.
2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК в 3 раза.
3. Точка М - середина отрезка АВ, точка К - середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК, если ВК=3см.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке МТ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков МК и ТК, если МК : ТК=7 : 5
Страницы: 1, 2, 3, 4
