Элементы логики, комбинаторики, статистики
и теории вероятностей
Доказательство. Определения, доказательство, аксиомы и теоремы, следствия.
Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы.
Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрических решений. Пятый постулат Евклида и его история.
Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.
Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.
Подготовку человека к таким проблемам и осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.
Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статистических моделей - в 7-9 классах.
Первые учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса - это новый учебный комплект «Математика 5-6» по ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. в этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы.
Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения школьников 10-11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а также комплект «Арифметика 5-6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Был проведен сравнительный анализ обучения школьников 5-6 классов решению комбинаторных задач, обучающихся с помощью учебника С.М. Никольского и с помощью учебника Г.В. Дорофеева. Дети, наученные составлять дерево возможных вариантов, более осмысленно решали предложенные задачи, отсекая, если нужно, повторяющиеся комбинации. Так, решение задачи, с применением специальных методов, привело к правильному ответу на 37% учащихся больше, чем решение простым перебором.
Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.
Занимательные задачи -- инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Например, задача 6-го класса: Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется.
Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:1. способ решения занимательных задач не известен;
2. занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету. Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений.
Систематизированный набор нестандартных задач применяется по индивидуальному плану учителя на уроках и во внеурочной работе. Конкретно можно рассмотреть некоторые темы: 5 класс, тема «Перебор возможных вариантов», в которой начинается изучение новой содержательной линии «Анализ данных»; 6 класс, тема «Вероятность события». Представлены характерные для комбинаторики задачи на размещения, сочетания, перестановки, но сами термины и формулы не рассматриваются. Предлагается более доступный детям данного возраста метод решения - построение дерева.
2.1 Анализ учебной литературы
Анализ начнём с учебника для 6 класса средней школы (под редакцией Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.). Авторы рассматривают комбинаторный принцип умножения, различные виды сочетаний (перестановки, размещения, сочетания) с повторениями и без повторений и формулы для их вычисления. Относительно теории вероятностей Дорофеев рассматривает понятие случайного события и вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Аналогично этому изданию учебник Зубаревой И.И., Мордковича А.Г. “Математика 5(6)”.
В учебнике Никольского С.М. и др. “Арифметика5-6” даются лишь определения различных соединений, формулы для их вычисления (6кл.) и классическое определение вероятности (8кл.). В этом учебнике рассмотрен минимальный круг вопросов. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. в учебнике для общеобразовательных учебных заведений “Алгебра. Функции. Анализ данных”. Рассмотрел вопросы, касающиеся исключительно теории вероятностей. Это классическое определение вероятности, понятие о генеральной совокупности и выборке, их параметры и оценки, а также оценка вероятности события по частоте.
Авторами разработана методика проведения практических занятий по информатике по теме "Начала комбинаторики". Основу теоретического материала составляет бесформульная комбинаторика: генерация сочетаний, перестановок и подмножеств, разбиения на слагаемые. Кроме этого предлагаются задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию.
Опыт проведения занятий подтвердил, как велика роль комбинаторных задач как средства развития мышления учащихся, формирования приемов умственной деятельности - анализа, синтеза, обобщения через реализацию полной схемы эвристических рассуждений: анализ проблемы, выдвижение гипотез, их проверка. Кроме этого поддерживается на достаточно высоком уровне познавательный интерес учащихся и к математике, и к информатике, а также укрепляются межпредметные связи.
2.2 Анализ учебно-методической литературы по комбинаторике и теории вероятностей
В учебном пособии для проведения факультативного курса по теории вероятностей Лютикаса В.С. вначале даны сведения из прошлого теории вероятностей, затем достаточно подробно и систематично рассматриваются вопросы комбинаторики, вероятности события, операций над вероятностями, независимые повторные испытания (формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона и Лапласа), дискретные и непрерывные случайные величины, а также рассмотрены различные интересные задачи (например, задача Бюффона, парадокс Бертрана и т.д.). Эта книга интересна как с методической, так и с познавательной точек зрения. Она может быть одинаково доступна как учителю, так и ученику, так как написана простым, понятным языком, в ней дано много таблиц, диаграмм, все главы находятся во взаимосвязи. Материал систематичен и постепенно усложняется.
Книга предназначена для учителей, работающих в школах и классах с углублённым изучением математики. Она содержит методические рекомендации по изучению некоторых теоретических вопросов и решению задач, планирование уроков, образцы самостоятельных и контрольных работ по всем темам; эти материалы написаны в соответствии с учебным пособием Виленкина Н.Я., Ивашева-Мусатова О.С. и Шварцбурда С.И.
Книга посвящена элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их приложениям, в ней систематически используется теоретико-множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части, которые можно читать независимо. Там рассматриваются простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для и преподавателей, учащихся, а также для студентов.
Авторы книги для внеклассного чтения Балк М.Б., Балк Г.Д. в интересном изложении дают комбинаторику и теорию вероятностей, кроме теории в этой книге есть исторические сведения, которые предлагается дать детям на занятиях кружков или факультативе по математике. После теории представлен набор занимательных задач на соединения без повторений и с повторениями. В отличие от пособия Лютикаса В.С. на занятия по теории вероятностей представлен материал только для одного или двух тематических занятий, а комбинаторика рассматривается без связи с теорией вероятностей. Но в книге представлен большой список литературы по комбинаторике и теории вероятностей.
Книга является пособием для факультетов подготовки учителей начальных классов. В ней дан достаточно большой объём материала по комбинаторике и, преимущественно, теории вероятностей. Этот материал отличается высоким уровнем сложности, он постепенно усложняется, в книге даны обширные исторические сведения.
В статье М.В. Ткачёвой под названием “Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других” приводится пример того, как можно ввести в изучение математики V-IX классов новую содержательную линию, основная цель которой - формирование у учащихся элементарных статистических знаний, а также развитие комбинаторного и вероятностно-статистических стилей мышления. М.В. Ткачёва говорит о том, что вопросы статистики и комбинаторики можно вводить в изучение уже сейчас, на базе учебников и учебных пособий Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и др. “Математика 5” и “Математика 6” (М.: Мнемозина, 1996 и далее), которые сейчас наиболее распространены в школах России. Так, предлагается в практически каждой теме решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел, умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений (6 кл.), далее эта линия усложняется введением элементов статистики и теории вероятностей (систематизация и подсчёт данных в частотных таблицах, столбчатые диаграммы, среднее значение и мода как характеристики совокупности числовых данных (5 кл.); нахождение частот данных по их относительным частотам в выборке заданного объёма и обратно, систематизация и представление данных в частотных таблицах, представление распределения данных в выборке в виде полигона частот (6 кл.). В статье приведён вариант планирования (для 5-6 классов), даны способы адаптации материала учебника к введению элементарных комбинаторных и статистических знаний. Т.е. комбинаторный материал даётся применительно к темам, изучаемым в нынешнем школьном курсе математики. Элементы теории вероятностей вводятся на практических занятиях (например, практическая работа по сбору, распределению данных по признакам, представление их в виде частотных таблиц) и в задачах.
Страницы: 1, 2, 3, 4
