В 2003 году издательство «Просвещение» опубликовало учебное пособие Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Элементы статистики и теории вероятностей» (под редакцией С.А. Теляковского). Книга предназначена для учащихся VII-IX классов и дополняет учебно-методический комплект: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» (под редакцией С.А. Теляковского), который сегодня является самым массовым, наиболее широко используемым учебным пособием по математике в основной школе. Поэтому выход в свет дополнения к указанному комплекту, предназначенного для изучения вероятностно-статистического материала, свидетельствует о том, что введение новой вероятностно-статистической линии в школьное математическое образование уже стало реальностью и данное пособие является основным для изучения этой линии.

Учебное пособие «Элементы статистики и теории вероятностей» содержит теоретический и практический материал по элементам статистики и теории вероятностей, а также методический комментарий и планирование, составленное из расчета, что на изучении математики в VII-IX классах отводится 5 часов в неделю.

Небольшое по объему пособие состоит из четырех параграфов и дополняет учебники:

1. Статистические характеристики.

2. Статистические исследования.

3. Элементы комбинаторики.

4. Начальные сведения из теории вероятностей.

Структура пособия аналогична структуре указанных выше учебников. Параграфы делятся на пункты. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

Концепция введения элементов статистики и теория вероятностей в основной школе, которой придерживаются авторы нового пособия, в основном совпадает с концепцией, реализованной в рамках учебного комплекта «Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, но материал несколько сокращен. Исключением является только параграф об элементах комбинаторики. Он помещен в курс IX класса (а не в VII класс, как это сделано в УМК под ред. Г.В.Дорофеева) и содержит гораздо больше и теоретических сведений и практических упражнений, чем соответствующий материал в учебнике «Математика 7» под ред. Г.В.Дорофеева.

Остановимся подробнее на особенностях предлагаемых подходов к изучению элементов статистики в курсе алгебры 7-8 классов.

В VII классе учащиеся знакомятся с такими простейшими статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Их содержательный смысл разъясняется на примерах. Учащиеся должны знать соответствующие определения, научиться находить эти характеристики в несложных случаях, понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. На изучение этого материала рекомендуется выделить 4 урока в конце учебного года за счет времени, отводимого на итоговое повторение.

Среднее арифметическое ряда данных является одним из основных статистических показателей. Оно используется в статистике наряду с такими средними величинами, как средняя квадратичная, средняя гармоническая.

Авторы подробно рассматривают графические способы представления статистических данных. При этом предлагают использовать столбчатую диаграмму для изображения распределения частот дискретных данных.

Наибольший объем материала запланирован для изучения в IX классе. Этот материал объединен в два параграфа: «Элементы комбинаторики» и «Начальные сведения из теории вероятностей», причем второй параграф включает два пункта, один из которых - обязательный, а решение об изучении второго пункта принимает учитель. На изучение вероятностно-статистического материала в IX классе выделяется 12 уроков (или, по решению учителя, 15 уроков), из них 8 уроков - на комбинаторику, 3 урока (или, по решению учителя, 6 уроков) - на теорию вероятностей и 1 урок - контрольная работа.

Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Затем разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения (которое чаще называют правилом произведения).

Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения из n элементов по k и сочетания из n элементов по k. С помощью комбинаторного правила умножения выводятся формулы для вычисления числа всевозможных перестановок, размещений и сочетаний из данного числа п элементов. Изложение материала сопровождается большим числом задач для самостоятельного решения. Комбинации с повторением элементов не рассматриваются (кроме нескольких несложных примеров).

Соответствующее планирование приведено в «Методическом комментарии» в конце указанного пособия.

В §3 «Элементы комбинаторики» содержится четыре пункта:

1. Примеры комбинаторных задач.

2. Перестановки.

3. Размещения.

4. Сочетания.

Последний параграф пособия «Начальные сведения из теории вероятностей» включает в себя два пункта:

1. Вероятность случайного события.

2. Сложение и умножение вероятностей.

Как указывают авторы в методическом комментарии к пособию, в пункте «Вероятность случайного события» вводятся начальные понятия теории вероятностей, формируется представление о случайных, достоверных и невозможных событиях, приведены статистическое и классическое определение вероятности. При вычислении вероятностей используются формулы комбинаторики.

Авторы пособия использовали тот же подход к введению базовых понятий теории вероятностей, который реализован в УМК под редакцией Г.В. Дорофеева: школьникам показывают, что понимать под словом «вероятность» и как оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне - по результатам простейших экспериментов, а позднее происходит количественный подсчет вероятностей. Однако, при реализации этого подхода авторы пособия, будучи жестко ограниченными выделенным на изучение временем и, как следствие, малым объемом пособия, проявили определенную непоследовательность - не смогли избежать некоторых противоречий и не дали четкого понятия о вероятности случайного события и способах ее нахождения в различных частных случаях. Пункт «Вероятность случайного события» начинается с рассмотрения эксперимента и его результата.

В последнем пункте пособия «Сложение и умножение вероятностей» рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними понятиями. Авторы вводят понятие несовместных событий и рассматривают случаи наступления одного из двух несовместных событий, не вводя понятия «сумма случайных событий». Далее разъясняется понятие «противоположные события» и формулируется утверждение о сумме вероятностей противоположных событий.

В заключении авторы формулируют утверждение о вероятности события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий. При этом не вводится понятие «произведение случайных событий», не вводится и понятие условной вероятности.

В заключении отметим, что пособие содержит большое количество интересных, хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности, к большинству из которых даны ответы и указания по решению. К сожалению, в ответах много опечаток, есть неточности и ошибки (подробное рассмотрение ошибок имеется в статье В.Н. Студенецкой, О.М. Фадеевой «Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы»).

Материал пункта 1 является подготовительным к пунктам 2-4. в нем рассматриваются примеры комбинаторных задач, при решении которых требуется непосредственно составлять те или иные комбинации и лишь после этого подсчитывать число возможных вариантов. Этот этап очень важный. В процессе составления различных комбинаций учащиеся начинают понимать структуру той или иной комбинации, а также усваивают способы рассуждений и подсчета вариантов. Здесь же разъясняется и формулируется комбинаторно правило умножения, которое неоднократно используется при изучении последующего материала.

Для того чтобы разъяснить учащимся смысл этого правила, рассматривается такая задача: «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?».

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.

Далее делается важное замечание, что ответ на поставленный вопрос в задаче можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Страницы: 1, 2, 3, 4