Особенности формирования понятия площади у младших школьников - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

ul>

Опустим перпендикуляр из вершины на прямую . Тогда

Так как треугольники и равны, то равны и их площади. Отсюда следует, что , т.е. площадь параллелограмма равна площади прямоугольника и равна , а так как , то .

Из это теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой , радиус вписанной окружности - , а площадь правильного многоугольника - , то, согласно данной теореме,

Доказательство. Разобьем правильный -угольник на треугольников, соединяя отрезками вершины -угольника с центром вписанной окружности.

Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна

где - сторона правильного -угольника . Тогда площадь многоугольника равна

но . Следовательно,

Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники и называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм и прямоугольник (рис.3), так как параллелограмм состоит из фигур и , а прямоугольник - из фигур и , причем .

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Рис. 4
Теорема Бойяни - Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.
Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.
Пусть дан треугольник (рис.4). Проведем в нем высоту и среднюю линию . Построим прямоугольник, одной стороной которого является , а другая лежит на прямой . Так как пары треугольников и , а также и равны, то треугольник и прямоугольник равносоставлены.
Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?

Пусть - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь , если выполняются следующие условия: существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержаться в (назовем их входящими); площадь этих многоугольных фигур как угодно мало отличаются от . Поясним эти положения. На рисунке 6 показано, что фигура содержит фигуру , т.е. -объемлющая фигура, а фигура содержится в , т.е. - входящая фигура. На теоретико-множественном языке это означает, что и, следовательно, можно записать, что
Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то как установлено в математике, существует единственное число , удовлетворяющее неравенству для любых многоугольных фигур и . Данное число и считают площадью фигуры .
Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг радиуса вписывают правильный -угольник , а около окружности описывают правильный -угольник . Если обозначить символами и площади этих многоугольников, то будем иметь, что , причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных многоугольников площади будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.
Площадь правильного -угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности , а площадь - к площади круга. Поэтому
Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.
Палетка- это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.
Накладываем палетку на данную фигуру . Квадраты, которые целиком лежат внутри , образуют многоугольную фигуру ; квадраты, имеющие с фигурой общие точки и лежащие внутри фигуры , образуют многоугольную фигуру (рис.7). Площади и находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры принимается среднее арифметическое найденных площадей:
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры , и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры .
Нетрудно обосновать эти действия. Пусть - число квадратов, которые поместились внутри фигуры , а - число квадратов через которые проходит контур. Тогда , а
. И значит,
Палетка позволяет измерить площадь фигуры с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по- разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры . Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры .
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПЛОЩАДИ И ЕЕ
ИЗМЕРЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
2.1 Методика формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников
В начальных классах рассматриваются величины: длина, площадь, масса, емкость, время и др. Учащиеся должны получить конкретные представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерения в различных единицах, выполнять арифметические действия над величинами.
Изучение величин имеет большое значение, так как понятие величины является важнейшим понятием математики. Каждая изучаемая величина -- это некоторое обобщенное свойство реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измерениях развивают пространственные представления, вооружают учащихся важными практическими навыками, которые широко применяются в жизни. Следовательно, изучение величин -- это одно из средств связи обучения с жизнью.
Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей: обучение измерению связывается с обучением счету; новые единицы измерения вводятся вслед за введением соответствующих счетных единиц; арифметические действия выполняются над натуральными числами и над величинами. Измерительные и графические работы как наглядное средство используются при решении задач. Таким образом, изучение величин способствует усвоению многих вопросов курса математики.
Прежде всего площадь выделяется как свойство плоских предметов среди других их свойств. Уже дошкольники сравнивают предметы по площади (не называя само слово «площадь») и правильно устанавливают отношения «больше», «меньше», «равно» («одинаково»), если сравниваемые предметы очень резко отличаются друг от друга или совершенно одинаковые. При этом дети пользуются наложением предметов или сравнивают их на глаз, сопоставляя предметы по занимаемому месту на столе, на земле, на листе бумаги и т. п. Например, лист березы меньше, чем лист клена, каток у школы больше, чем у нашего дома, все блины одинаковые -- не больше и не меньше и т. п. Однако, сравнивая предметы, у которых форма различна, а различие площадей не очень четко выражено, дети испытывают затруднения. В этом случае они заменяют сравнение по площади сравнением по длине или по ширине предметов, т. е. переходят на линейную протяженность, особенно в тех случаях, когда по одному из измерений предметы сильно отличаются друг от друга.
В процессе изучения геометрического материала сначала у детей уточняются представления о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Более четким становится понимание того, что фигуры могут быть различными и одинаковыми по площади. Этому способствуют упражнения на вырезывание фигур из бумаги, черчение и раскрашивание их в тетрадях и т. п. В процессе решения задач с геометрическим содержанием (например, составление фигур из заданных частей, вычленение различных фигур на сложном чертеже и т. п.) учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они убеждаются, что площадь не изменяется при изменении положения фигуры на плоскости (фигура не становится ни больше, ни меньше). Дети многократно наблюдают соотношение между всей фигурой и ее частями (часть меньше целого), упражняются в составлении различных по форме фигур из одних и тех же заданных частей (т. е. построении равносоставленных фигур). Учащиеся постепенно накапливают представления о делении фигур на неравные и равные части, сравнивая наложением полученные части.
Ознакомление с площадью можно провести так:
«Посмотрите на фигуры, прикрепленные к доске (рис. 62), и скажите, какая из них занимает больше всех места на доске (квадрат АМКЭ занимает места больше всех фигур). В этом случае говорят, что площадь квадрата больше, чем площадь каждого треугольника и квадрата СОМВ. Сравните площадь треугольника ЛВС и квадрата АМКй (площадь треугольника меньше, чем площадь квадрата). Посмотрите, я сравню эти фигуры наложением -- треугольник занимает только часть квадрата, значит, действительно площадь его меньше площади квадрата. Сравните на глаз площадь треугольника ЛВС и площадь треугольника БОЕ (у них площади одинаковые, они занимают одинаковое место на доске, хотя расположены по-разному). Проверьте наложением».
Аналогично сравниваются по площади другие фигуры, а также предметы окружающей обстановки.
Однако не всегда так легко установить, какая из двух фигур имеет большую (меньшую) площадь или они одинаковы по площади. Чтобы показать это учащимся, можно предложить им сравнить вырезанные из бумаги прямоугольник и квадрат, ЮЯ значительно отличающиеся по площади, например: размеры квадрата 4?4 дм, а прямоугольника 5?3 дм, при этом фигуры с обратной стороны разбиты на квадратные дециметры.
1см 3 см
Сначала учащиеся пытаются сравнить эти фигуры на глаз, а тик же путем наложения. Однако оба способа не помогают детям решить вопрос убедительно. Выслушав различные предположения, учитель поворачивает фигуры той стороной, на которой сделана разбивка на квадраты, и предлагает сосчитать, сколько одинаковых квадратов содержит каждая фигура. На этой основе дети устанавливают, площадь какой фигуры больше, I какой -- меньше. Аналогичные упражнения на сравнение площади фигур, составленных из одинаковых квадратов1, выполняются по учебнику, а также по чертежам, данным на доске. Дети убеждаются в том, что если фигуры состоят из одинаковых квадратов, то площадь той фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше) квадратов. Полезно на этом же уроке рассмотреть такой случай, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь, так как содержат одинаковое число квадратов (например, квадрат--16 кв. ед. и прямоугольник--16 кв. ед.). На последующих уроках включаются упражнения на подсчет квадратов, содержащихся в заданных фигурах, предлагается начертить в тетрадях фигуры, которые состоят из заданного числа квадратов (клеточек тетради). В процессе таких упражнений начинает формироваться понятие о площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.
На следующем этапе учащихся знакомят с первой единицей площади -- квадратным сантиметром. Учащиеся чертят в тетрадях, вырезают из бумаги в клеточку квадраты со стороной 1 см. Учитель сообщает: «Это единица площади -- квадратный сантиметр».
Используя бумажные модели квадратного сантиметра, дети составляют из них различные геометрические фигуры и находят подсчетом их площадь (рис. 63). Сравнивая площади составленных фигур, дети еще раз убеждаются, что площадь той фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше) квадратных сантиметров. Площади фигур, содержащих одинаковое число квадратных сантиметров, равны, хотя фигуры могут не совмещаться при наложении. Эффективен на этом этапе прием сопоставления знакомых детям величин--длины отрезка и площади фигуры, который помогает предупредить смещение этих величин. Выполняя конкретные упражнения, обнаруживают некоторое сходство и существенное различие этих величин: сантиметр -- единица длины; квадратный сантиметр-- единица площади; длина отрезка -- число сантиметров, которые содержатся в данном отрезке; площадь фигуры -- число квадратных сантиметров, содержащихся в этой фигуре.
В дальнейшем наглядное представление о квадратном сантиметре и понятие о площади фигур закрепляются. Включаются упражнения на нахождение площади фигур, разбитых на квадратные сантиметры. Предлагается при подсчете квадратных сантиметров группировать их по рядам или столбцам, чтобы ускорить нахождение их общего числа. Рассматриваются и такие фигуры, которые наряду с целыми квадратными сантиметрами содержат и нецелые -- половины, а также доли больше или меньше, чем половина квадратного сантиметра.

Страницы: 1, 2, 3