Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых являются задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание». Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).
Пример. Некто истратил 30 р. Своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70р. Сколько денег было вначале?
Решение:
Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ: первоначально было 100 р.
Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. д. в этом случае считают, что задача решается комбинированным методом.
Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй - треть того, что внесли все его товарищи, третий - четверть того, что все его товарищи, четвертый - оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?
Пусть первый товарищ внес х р., второй -у р., третий -- z р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Решение начнем алгебраическим методом.
Пусть первый товарищ вне х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х = Зх (р.). Значит, первый внес стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора: у + Зу = 4у (р.). Значит, второй внес стоимости телевизора.
Пусть третий внес z р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (p.). Значит, третий внес стоимости телевизора.
Продолжим решение арифметическим методом.
Первый, второй и третий внесли 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 1 - 47/60 = 13/60 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит 650 * 60/13 = 3000 р.
Ответ: 3 ООО р.
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
3. Практическая часть
3.1 Сравнительный анализ учебников 5-6 классов
В курсе математики 5-6 классов текстовые задачи решают практически с первых уроков. Основными авторами учебников являются: Виленкин Н.Я и др. Математика 5,6. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика 5,6. Зубарева И.И, Мордкович Л.Г. Математика 5,6. Дорофеева Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика 6.
Если сравнивать учебники этих авторов, то практически все они одинаковы по введению решения текстовых задач в курсе математики.
В учебнике «Математика 5» авторов Виленкин Н.Я. и др. с первых уроков идут текстовые задачи на нахождение массы, на нахождение количества, на движение. При изучении темы «Отрезок» авторы дают задачи по этой теме, на сравнение и нахождение длины отрезков. В этом же учебнике Виленкин Н.Я. и др. предлагают текстовые задачи, решаемые с помощью у равнений. Почти с самого начала учебника есть задачи на производительность. В учебнике «Математика 5» Виленкин. Н.Я. и др. дают задачи на смеси и сплавы. Со второй четверти дети начинают решать задачи на нахождение площади, периметра, объема геометрических тел. В самом конце учебника авторы вводят понятие «Процент» и решение задач на проценты.
В отличии от учебника «Математика 5» авторов Виленкин Н.Я. и др. в учебнике «Математика 5» авторов Зубарева И.И., Мордкович А.Г. с первых параграфов учебника идет решение задач с помощью уравнений, так же на количество, на нахождение массы, на движение, на производительность. В учебнике «Математика 5» Зубарева И.П., Мордкович А.Г. дают изучение отрезков и решение задач на сравнение, и нахождение длины отрезков. В разделе «Обыкновенные дроби» дети решают задачи на отыскание части от целого и целого по его части, что в учебнике «Математика 5» Виленкина Н.Я. и др. не рассматривается. При изучении раздела «Геометрические фигуры» решаются задачи на нахождение площади, периметра, объема тел, и задачи на доказательство. В этом же разделе авторы учебника вводят понятие серединного перпендикуляра и решение задач на его нахождение. В учебнике «Математика 5» Зубаревой И.И. и Мордковича А.Г. решаются текстовые задачи по теме «Масштаб». В конце этого учебника авторы знакомят учащихся с понятием «Процент» и дают задачи на нахождение процентов. В самой последней главе учебника «Математика 5» Зубарева И.И. и Мордкович А Г. вводят задачи на вероятность и комбинаторные задачи. Такие как: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8.»
Решение.
У интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться любая из заданных цифр, кроме цифры 0 (не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0). Если на первое место мы поставим цифру 2, то на втором месте (цифра единиц) может находиться любая из заданных пяти цифр. Получится пять двузначных чисел: 20, 22, 24, 26, 28. Точно так же будет пять двузначных чисел с первой цифрой 4, пять двузначных чисел с первой цифрой 6 и пять двузначных чисел с цифрой 8.
Ответ: всего получится 20 двузначных чисел.
Аналогичные типы текстовых задач предлагаются в учебнике «Математика 5» авторов Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э., что и учебниках выше указанных авторов.
Сравнивая учебники математики 6-х классов авторов Виленкин Н.Я. и др., Нурк Э Р. и Тельгмаа А.Э., Зубарева И.И. и Мордкович А.Г., можно сказать, что к ранее перечисленным текстовым задачам добавляются новые задачи. Например, в учебнике авторов Виленкин Н Я. и др. добавляются задачи на нахождение масштаба, на составление пропорций и задачи на вероятность.
Например: «Длина отрезка на карте 3 см. найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1: 1 ООО ООО.»
Решение
Обозначим длину отрезка на местности (в сантиметрах) буквой х и найдем отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 3: х, которое и будет равно масштабу карты.
Значит, 3: х = 1: 1 ООО ООО.
Решив уравнение, получим д: = 3 * 1 ООО ООО = 3 ООО ООО. Но 3 ООО ООО см = 30 ООО м - 30 км. Ответ: длина отрезка на местности 30 км.
В «Математике 6» Зубаревой И.И. и Мордковича А Г. добавляются задачи, решаемые с помощью пропорции. Образец решения задач такого типа представлен так: «За 6 кг товара заплатили 420 р. какова стоимость 20,4 кг этого товара?»
Обозначим стоимость 20,4 кг товара буквой х и составим уравнение.
6 кг = 420 р.
20,4 кг + х р.
= ,
Х =
Х = 1428 (р.).
Ответ: 1428 рублей.
В учебнике «Математика 6» авторов Нурк Э.Р. и Тельгмаа А.Э. вводятся задачи на нахождение пропорции, масштаба и задачи на нахождение вероятности. Например: «Чтобы покрасить пол площадью 16 м2 , потребовалось 3,2 кг краски. Сколько потребуется такой краски, чтобы покрасить пол площадью 12 м2»
Обозначим искомое количество краски через х. так как площадь пола и количество краски - прямо пропорциональные величины, то составим пропорцию:
откуда 16х = 12 * 3,2 их = = 2,4.
Ответ: необходимо 2,4 кг краски.
Но учебник «Математика 6» авторов Дорофеева Г.В. и Шарыгин И.Ф. немного отличается от предыдущих учебников математики, тем, что авторы вводят новые типы текстовых задач: задачи па отношение, задачи-исследования, задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, задачи на «обратный ход». Например, решение задач на «обратный ход»:
Петя задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 21. какое число задумал Петя?
Сначала из 21 вычтем 3;
21 - 3 = 18.
Теперь результат разделим на 2:
18 : 2 = 9.
Значит, Петя задумал число 9. Решение задач с помощью кругов Эйлера.
Из 52школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием.
Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получим больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки.
Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера. На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.
Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис. 4 ). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.
Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис. 5 ). Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 -- 16 -- 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.
Из рисунка ясно, сколько всего человек занимаются коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.
Я считаю, что авторы учебника «Математика» Виленкин Н.Я. и др. лучше всех других авторов излагают материал по изучению текстовых задач в курсе математики 5-6 классов. Так как изучение тем идет в логической последовательности, учащиеся с легкостью усваивают новый материал и не вызывают трудностей при решении текстовых задач.
А учебник «Математика 6» Дорофеева Г.В. и Шарыгин И.Ф. немного сложный для учащихся шестого класса, так как решение задач с помощью кругов Эйлера будет сложным для усвоения.
Таким образом, переходя в 7 класс учащиеся уже знакомы практически со всеми типами текстовых задач.
4. Заключение
Проанализировав научную, учебную, методическую литературу по теме «Текстовые задачи в курсе математики 5-6 классов» можно сделать вывод, что умение решать текстовые задачи имеет важное место, это показатель обученное и развития учащихся. Умение решать задачи разными методами способствует решению задач, как в других школьных предметах, так и в жизни.
Немаловажную роль в обучении играют разнообразные методы и приемы обучения. Такие как алгебраический, арифметический, геометрический, логический, комбинированный, аналитический, синтетический. Именно они вызывают активность мыслей у учащихся, и оптимально способствуют его умственному развитию, воспитывают настойчивость, активность, формируют жизненную позицию ученика как активной и самостоятельной личности.
Решая задачи, у учащихся вырабатывается умение применять теорию на практике, сопоставлять известное с неизвестным и отвечать на вопрос задачи. Применять для решения задачи известные им уже факты, с помощью мотивации и пропедевтики со стороны учителя.
Решением задач достигаются следующие цели:
Ш Решая задачу, школьник учится понимать зависимость между величинами, устанавливать связь между ними, выбирать соответствующие действия.
Ш Использование в условиях задач жизненного материала способствует установлению связи математики с современностью, уточняет знания учащихся о наших достижениях в области строительства, развивает в них гордость за наши успехи, любовь к Родине.
Ш На задачах выясняются многие математические понятия, например: два вида деления, увеличение и уменьшение в разностном и кратном отношении, различные случаи употребления действий.
Ш Применение того или иного действия при решении задач закрепляет математические навыки.
Ш Решение задач из окружающей жизни воспитывает человека, умеющего применять к жизни основы знаний, полученных в школе.
Ш Решение задач способствует возбуждению интереса к занятиям по математике.
Ш Развивая логическое мышление, решение задач готовит учеников к успешному усвоению алгебры и геометрии.
Таким образом, гипотеза исследования: решение текстовых задач является одной из важных проблем обучения математики, так как дают возможность провести выполнение умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, а так же способствует углублению знаний по многим темам изучаемых в математике 5-6 классов, подтвердилась.
5. Используемая литература
1. Арнольд И.В Принципы отбора и составления арифметических задач -М.,1946.
2. Вилейнтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Выпуск I. Арифметика и алгебра. Перевод с нем. Юшкевич П.С. - М. - Л., 1932.
3. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты/Математика в школе - 1988, № 4.
4. Виленкин Я., Жохов В.И., Чесноков А.С, Шварцбурд СИ. Математика. Учебник для 5 класса - М.,1998.
5. Виленкин Н.Я., Жохов В.П., Чесноков А.С, Шварцбурд СИ. Математика. Учебник для 6 класса - М., 1991.
6. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе Ростов-на-Дону.,2005.
7. Демидова Т.Е., Гонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач -М.,2002.
8. Дорофеева Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика. Учебник для 6 класса-М.,2004.
9. Доценко B.C. Пятое правило арифметики/Наука и жизнь, № 12, 2004.
10. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. Учебник для 5 класса-М.,2006.
11. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. Учебник для 6 класса -М.,2006.
12. Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика - М.,2002.
13. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. Учебник для 5 класса - М.,1992.
14. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. Учебник для 6 класса - М.,1991.
15. Прохоров Р.А. Математический энциклопедический словарь М.,1987.
16. Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач - М.,1963.
17. Стандарт основного общего образования по математике.
18. Стойлова Л.П., Пышкало A.M. Основы начального курса математики М.,1988.
19. Тоом АЛ. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы/Математика - 2004, № 7.
20. Чекмарев Л.Ф. Методика преподавания арифметики в 5 и 6 классах -М.,1965.
Страницы: 1, 2, 3, 4
