Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

еорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (5)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l - событию В и m - одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 - m элементарных событий. Тогда

Р(А+В)= = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы (5).

Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Введем обозначения для событий:

А1- первое растение здоровое;

А2 - второе растение здоровое;

А1+A2 - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события А1 и А2 совместимые, то согласно формуле (5)

P(А1+ А2) = P(А1) + P(А2) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ? 1 [4, 28].

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В1, В2, ... Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(6)

(формула полной вероятности).

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B1, В2, ..., Bn, т.е. А = B1 А + В2А + ... +, BnА причем ввиду несовместимости событий B1, В2 , ..., BnА события B1А, В2А, ..., BnА также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим: B1 - выбор первого ящика, B2 - выбор второго ящика, В3 - выбор третьего ящика, А - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(В1)= Р(В2) = Р(В3) =.

Если выбран первый ящик, то (А) = . Аналогично (А) = , (A) = . Наконец, по формуле (6) получаем [8, 22].

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве-личины P(Bk), k = 1,... , п.

Найдем условную вероятность РA(Вk).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n). (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B1 - человек придерживался специальной диеты;

В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В1) = Р(В2) = 0,5,

(A) = 0,31, (A) = 0,48.

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 • 0,31 + 0,5 • 0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

[11, 216].

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.

2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

2.1 Основные понятия о факультативном курсе

Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (5-6 классы, 8-9 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Главной целью факультативных занятий по теории вероятностей является углубить и расширить знаний.

Задачи факультативных занятий:

· развитие интереса учащихся к предмету, их математических способностей;

· привитие школьникам интереса к самостоятельным занятиям математикой;

· воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Требования к проведению факультативных занятий

1. Преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.

2. Взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

3. Не должно быть противоречий с научно обоснованными психолого-педагогическими требованиями, такими как: изучение новых понятий на основе известных; опора при изучении математических абстракций на конкретные модели; использование практических возможностей приложения математики не только на развивающем этапе изучения данного вопроса, но и в качестве мотива, обосновывающего необходимость изучения этого раздела, вопроса.

4. Не должно быть несогласованности с нормами организации работы общеобразовательной школы. Например, нельзя часы, отведенные на факультативные занятия, использовать для внеклассной работы или дополнительных занятий по математике.

5. Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения факультативных занятий по математике должна быть результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

6. Факультативных занятия по математике целесообразно проводить учитывая их функции - развивающую, воспитывающую и учебную.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - "дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие".

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Также при проведении факультативных занятий можно использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.

В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления.

Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения.

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:

а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики";

б) изучение специальных математических курсов.

Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе.

Страницы: 1, 2, 3, 4