Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

а самих занятиях качество усвоения теории проверяется в процессе решения задач и примеров. Здесь совершенно недопустимы такие формы работы, которые сковывали бы инициативу учащихся. Занятие начинается с постановки упражнения для всех учащихся. За время, которое отводится на выполнение задачи или примера, учитель успевает проследить, кто и как справляется с заданием. Не следует торопить учащихся. Обычно, если не все, то некоторые из них выполняют задание в запланированное учителем время, а затем начинается разбор и теоретическое обоснование решений. Инициатива в оценке способов решения, в исправлении ошибок, в постановке вопросов представляется самим учащимся. В процессе этой работы достигается логическая точность в формулировках определений понятия или их свойств. В заключительном слове учитель дает мотивированную оценку знаний учащихся. Помимо указанной формы контроля знаний, целесообразно проводить кратковременные 15-20-минутные проверочные работы.

На занятиях полезно практиковать постановку докладов учащихся. При подготовке к докладам учащиеся используют различную дополнительную литературу, указанную учителем. Не следует увлекаться большим количеством докладов, в противном случае у учителя просто не хватит времени для хорошей подготовки докладчиков.

Начальное общее образование призвано помочь учителю реализовать способности каждого ученика и создать условия для индивидуального развития школьников.

Чем разнообразнее образовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальность личности ученика, а затем направить и скорректировать развитие школьника с учетом выявленных интересов, опираясь на его природную активность.

Личностно-ориентированное обучение строится на принципе вариативности, т.е. признания разнообразия содержания и форм обучения, выбор которых осуществляется с учетом развития ребенка и его педагогической поддержки. Пытаясь создать условия для личностно ориентированного обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметов по интересам и склонностям.

Таким образом, для формирования и развития математических способностей у школьников и их интереса к математике будет актуальна такой способ обучения как факультативный курс.

Факультативные занятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создать условия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, а остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясь помощью учителя, более трудные задания.

2.2 Методика преподавания элементов теории вероятностей

В теории вероятностей понятие «событие» неразрывно связано с теоретико-множественными представлениями. В частности, по определению, под событием понимается любое подмножество множества элементарных исходов. Следовательно, для корректного введения определения этого понятия необходимо, чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств, теоретической основой теории вероятностей. Изучение теории множеств в школьном курсе математики не предусмотрено, поэтому учителю необходимо определиться, как решать эту проблему. В некотором смысле одним из путей ее решения можно считать наличие экспериментального курса математики начальной школы, реализуемого на основе учебного пособия Л. Г. Петерсон (2002 г.). В нем изучаются первоначальные сведения из теории множеств (введено интуитивное представление о понятии «множество», рассмотрены некоторые операции над множествами: пересечения, объединения и разности множеств и их простейшие свойства). Методика изучения материала во многом сходна с методикой изучения элементов теории множеств, реализованной в учебнике математики для 4--5 классов под редакцией А. Н. Колмогорова 60--70-х гг. издания прошлого века. Наиболее предпочтительным при изучении основных понятий теории вероятностей представляется логически обусловленный путь на базе необходимых понятий теории множеств вводятся основные понятия теории вероятностей.

Изучение понятия «событие» сопряжено учащихся трудностями психологического характера. Его ученики обычно воспринимают контексте «бытовой» лексики, связывая его неким единичным бытовым актом.соответствии же определением понятия «события» наряду единичным актом надо мыслить некоторое их множество, числом элементов большим или равным единице. Далее, необходимо четко разграничить понятия эксперимента (опыта) события как некоторого исхода, благоприятствующего некоторому комплексу условий Для учащихся понятия «эксперимент» «событие» часто совпадают.

Формирование представления о понятии «события» начинается рассмотрения простейших вероятностных моделей подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишенформирования на интуитивном уровне понятия «элементарного исхода» При этом имеет смысл вводить изучать основные понятия историческом контексте, так как при этом не нарушается логика развертывания теории вероятностей. Следуя. Байесу, рассматриваются такие опыты, при каждом испытании которых возможны несовместные равновозможные исходы. Каждый такой исход называется элементарным исходом или элементарным событием. На основе рассматриваемых опытов можно ввести понятие «полной группы событий» как множества попарно несовместных равновозможных элементарных событий. Все эти понятия дают возможность сформулировать определение понятия «событие» сформировать первичное представление об этом важном понятии теории вероятностей.

Еще одним элементом, способствующим формированию представлений понятии «события» является классификация событий по степени их «объективной возможности реализации» Изучение классификации событий по этому признаку имеет для учеников важное мировоззренческое значение. Оказывается, что окружающем мире не существует иных событий, кроме достоверных, невозможных случайных. Здесь же подчеркивается фундаментальный характер понятия «случайного» события построении изучении закономерностей вероятностных моделей окружающего мира. Примеры таких моделей естественным образом привлекаются из школьных дисциплин (физики, химии, географии, биологии, истории, обществоведения, экономики) При этом имеет место реализация межпредметных связей.

Значение классификации по указанному выше признаку определяется еще тем, что на ее основе осуществляется фактически первый подход формированию понятия «вероятность» Если попытаться сопоставить возможностью или невозможностью наступления конкретного события некоторую численную меру, частности каждому достоверному событию поставить соответствие число каждому невозможному число тогда понятно, что каждому случайному событию будет соответствовать действительное число из интервала (Оставляя временно нераскрытым вопрос методах установления соответствия между случайными событиями элементами множества (логически обоснованным является переход изучению вопроса об операциях над событиями.

Предварительно надо рассмотреть понятие «отношения между событиями» имеется виду отношение включения (синонимичное наиболее часто употребляемыми оборотами речи «событие влечет за собой событие «событие является следствием события «событие является частью события На основе этого отношения логично ввести определение равных событий. При изучении отношений операций над событиями естественно использование наглядно-графических средств курсе теории вероятностей изучаются следующие операции над событиями сложение (объединение) умножение (пересечение) Разность событий можно ввести через соответствующее определение или на основе введенных операций. Подчеркивая, что события это множества, можно изучать операции над событиями аналогично изучению операций над множествами, используя примеры, построенные на базе основных вероятностных моделей.

Наличие учащихся теоретико-множественных представлений позволит им проследить полную аналогию между операциями над множествами операциями над событиями. Теория вероятностей дает возможность ученикам увидеть, что объекты отношения этом разделе математики фактически те же, что теории множеств. Разница заключается лишь терминологии, языке, используемом теории вероятностей. Полезно составить таблицу соответствия между терминами теории множеств терминами теории вероятностей.

Следует отметить, что уверенное владение учащимися навыками по работе с операциями над событиями и умение использовать основные свойства этих операций важны для развития навыков решения задач по курсу теории вероятностей. Одна из важнейших проблем, рассматриваемая теории вероятностей определение вероятности сложных событий, получаемых из простых использованием операций над событиями. Кроме этого, изучение операций над событиями актуально для случаев, когда вероятностное пространство имеет достаточно большое число элементов решение задач его использованием приводит громоздким вычислениям. Эти положения можно считать основой мотивации изучения операций над событиями.

Изучение операций над событиями желательно сопровождать примерами, которые достаточно наглядно отражают не только сущность самой изучаемой операции, но различие этих операциях. Как правило, ученики достаточно легко по определению построят сумму, произведение событий.

Труднее сформировать понимание сущности операций над событиями. Например, после введения определений операций суммы произведения событий рассмотрения соответствующих примеров, можно предложить ученикам следующее задание.

Пример: по самолету стреляют два зенитно-ракетных комплекса (ЗРК) Самолет сбит, когда в него попал хотя бы один снаряд неважно какого ЗРК, первого или второго (это естественно, совсем необязательно, чтобы самолет попали оба ЗРК) Пусть событие самолет сбит первым ЗРК, событие самолет сбит вторым ЗРК. Событие самолет сбит.

Ставя перед учениками проблему, что представляет собой событие учитель активизирует деятельность учащихся. Эта задача приводит учеников рассуждению возможности события как суммы событий (= возможности события как произведения событий Аи (Для учащихся, очевидно, что качестве решения задачи, прежде всего, является именно сумма событий, не их произведение, так как есть четкое понимание того, что самолет будет сбит случае, когда хотя бы один ЗРК него попал. Кроме этого, становится интуитивно ясно, что вероятность события, что самолет попадут оба ЗРК, много меньше, чем вероятность попадания него каждым ЗРК отдельности.

Методической проблемой при изучении этой темы процессе решения задач можно считать обучение процедуре выделения простых событий.

Разрешение этой проблемы приходит результате накопления опыта решения задач.

Отбор системы задач по этой теме желательно осуществить так, чтобы позже использовать их для решения задач по вычислению вероятности сложного события по известным вероятностям простых событий.

Изученные операции над событиями должны привести к более глубокому осмыслению учащимися таких понятий, как «пространство элементарных событий» «несовместные события» «достоверные события» «невозможные события» «противоположные события» так как эти понятия могут быть определены на основе операции над событиями.

Далее, после изучения операций над событиями свойств изучаются элементы комбинаторики основы дл вычисления вероятностей событий широком классе вероятностных схем. Элементы методики изучения комбинаторики школьном курсе математики достаточно подробно разработаны, так как этот раздел изучался школьном курсе математики. настоящее время происходит возврат разделу комбинаторики, так как он востребован потребностями дискретной математики, широко применяемой в различных областях знания, например информатики.

Тема «Элементы комбинаторики» может изучаться изучения темы «Теория вероятностей» так как она содержательно богата как теоретическом, так прикладном аспектах.

Второе фундаментальное понятие теории вероятностей это понятие «вероятности» Это понятие является основой построения всех схем вероятностного характера, описывающих широкий класс случайных явлений.

Формирование этого понятия, так же как понятия «события» начинается преодоления противоречия между субъектным опытом ученика употребления им термина «вероятность» повседневной практике смыслом, вкладываемым определение этого понятия математике.

Настоящее время существует несколько определений понятия «вероятности события» статистическое, аксиоматическое, классическое, субъективное (на основе экспертных оценок) Можно сказать, что формирование понятия «вероятности» происходит настоящее время. Философский подход определению вероятности как «примеры объективной возможности наступления (или не наступления) некоторого события» для математики неприемлем силу весьма его размытого характера. Неприемлемо это определение для реализации целей обучения теории вероятностей школьном курсе математики.

В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки.

Формирование понятия «вероятности» может быть осуществлено несколько этапов. Сначала, реализуя принцип историзма обучении, рассматривается классическое определение понятия вероятности. Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию общему числу исходов Это определение, являясь конструктивным, дает способ вычисления вероятности события формулируется для так называемых классических экспериментов. Эксперимент называется классическим, если результате его проведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям:

все события равновозможны;

они попарно несовместны;

образуют полную группу событий.

Исторически такие события назывались шансами, случаями, исходами, речь шла о рассматриваемых ранее основных вероятностных моделях подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишени.

Можно проверить, что введенное таким образом определение вероятности обладает следующими свойствами:

(= вероятность достоверного события равна так как

(= вероятность невозможного события равна так как вероятность принимает значения из промежутка [; так всегда то из следует

(+ (+( если события несовместны.

Это свойство можно обосновать. Пусть результате проведения серии экспериментов событие произошло m1 раз, событие m2. Так как события несовместны, то сумма событий произошла m1+ m2 раз. Тогда получаем, что

Страницы: 1, 2, 3, 4