Задание 92. Следуя приведенной выше инструкции, выполните данное задание.

Лист 1

1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, то частное увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже разделится на это число.

5. Если из данного числа вычесть предшествующее ему число, то получим ...

Лист 2

Задания расположены в другой последовательности, чем посылки.

1. Найди разность 84 - 84, 32 - 31, 54 - 53.

2. Назови суммы, которые делятся на 3: 9+27, 6+9, 5+18, 12+24, 3+4, '+6.

3. Сравни выражения и поставь знаки <. > или = :

125-87 ... 127-87 246-93 ... 249-93 584-121... 588- 121

4. Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :

304:8 ... 3044 243:9 ... 243:3 1088:4 . . 1088:2

5. Как быстро найти сумму в каждом столбике:

9999 12 15 12 16 30 30 32 32 40 40 40 40 Ответ: 91.

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном Курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суждение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним - 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно-однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рисунок:

Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):

Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.

Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.

Миша - такое равенство: 60:12=5.

Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.

Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:

Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?

Миша записал решение задачи так:

1) 18:9=2 (км/ч)

2) 27:9=3 (км/ч)

3) 2+3=5 (км/ч) Маша - так:

1) 18+27=45 (км)

2) 45:9=5 (км/ч) Кто из них прав: Миша или Маша?

Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины? Маша решила задачу так:

1)7*3=21 (к.)

2) 4*7=28 (к.)

3) 21+28=49 (к.) Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов. А Миша так решил задачу:

1)9 *4=36 (к.)

2) 8*6=48 (к.)

3) 36+48=84 (к.) Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов. Кто из них прав?

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Покажем это на примере заданий:

V Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

П : 6 = 27054 П:7= 4083 (ост. 4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного - 27054, делитель - б». Заключение:

«27054*6».

Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.

Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» или воспользовавшись калькулятором.

Аналогично поступают со второй записью.

Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.

Учащиеся высказывают суждение:

6*8=48 (обоснование - вычисления) 56 - 48=8 (обоснование - вычисления)

8*6=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).

48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)' Таким образом, в большинстве случаев для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления.

Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.

* Задание 93. Опишите способы обоснований истинности суждений. высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. При изучении каких вопросов курса математики начальных классов целесообразно предложить эти задания9

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*7+9+5 8*6+8+3 7*9+9+5 8*7+3 9*8+5 7*8+3

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике 'одинаковы:

12*5 16*4 (8+4)*5 (8+8)*4 (7+5)*5 (9+7)*4 (10+2)*5 (10+6)*4

Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи:

(14+8)*3 ... 14*3+8*3 (27+8)*6 ...27*6+8 (36+4)*18 ...40*18 .

Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства

8*8=8П7П8 8*3=8П4П8 8*6=6П8П0 8*5=8П0П32

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

8*(4*6) (9*3)*3 8*24 2*27 (8*4)*6 9*(3*2) 6*32 (2*3)*9

3.8. Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Умение последовательно, четко и непротиворечиво излагать свои мысли тесно связано с умением представлять сложное действие в виде организованной последовательности простых. Такое умение называется алгоритмическим. Оно находит свое выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или алгоритм (если он существует), в результате выполнения которого цель будет достигнута.

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) -сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью ее решение. Но определенную подготовку к ее достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Для этого, начиная с 1-го класса, нужно, прежде всего, учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работу следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных им. Можно составить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрестком, алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какого-либо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т. д.

Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляет собой следующий алгоритм:

1. Налить стакан горячей воды в кастрюлю.

2. Взять чайную ложку напитка.

3. Засыпать (всыпать) кофейный напиток в кастрюлю с водой.

4. Нагреть содержимое кастрюли до кипения.

5. Дать напитку отстояться.

6. Налить напиток в стакан.

Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, а говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определенные действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.

Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими. Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере не в общем виде, в них находят отражение не все операции, входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (800*4) выполняется так:

1. Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и единицы, оканчивающейся нулями: (8*100) *4;

2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

(8*100)*4 =8 *(100*4);

3. Воспользуемся переместительным свойством умножения:

8*(100*4)=8*(4*100);

4. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

8*(4*100)=(8*4)*100;

5. Заменим произведение в скобках его значением:

(8*4)*100 =32*100;

6. При умножении числа на 1 с нулями нужно приписать к числу столько нулей, сколько их во втором множителе:

32*100=3200.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчетливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности. Например:

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*(8*100) 800*7 (9*8)*100 (8*7)*100 (9*100)*8 8*(7*100) 9*100 8*700 72*100 56*100

Объясни, как получено выражение, записанное справа:

4*6*10=40*6 2*8*10=20*8 8*5*10=8*50 5*7*10=7*50

Можно ли утверждать, что значения произведений в каждой паре одинаковы:

45*10 54*10 32*10 9*50 60*9 8*40

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определенной программы.

Например, задание «найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» можно представить в виде алгоритмического предписания так:

1. Запиши число 3.

2. Увеличь его на 2.

3. Полученный результат увеличь на 2.

4. Повторяй операцию 3 до тех пор, пока не запишешь 5 чисел. Словесное алгоритмическое предписание можно заменить схематическим:

Это позволит учащимся более четко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.

* Задание 94. Сформулируйте в виде алгоритмических предписаний следующие математические задания и представьте их в виде схемы

действий:

а) напиши 4 числа, первое из которых равно 1, каждое следующее

в 2 раза больше предыдущего;

б) напиши 4 числа, первое из которых 0, второе больше первого на 1 третье больше второго на 2, четвертое больше третьего на 3;

в) напиши 6 чисел: если первое равно 9, второе 1, а каждое следующее равно сумме двух предыдущих.

Наряду со словесными и схематическими предписаниями можно задать алгоритм в виде таблицы.

Например, задание: «Запиши числа от 1 до 6. Каждое увеличь:

а) на 2; б) на 3» можно представить в такой таблице:

Таким образом, алгоритмические предписания можно задавать словесным способом, схемой и таблицей.

Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий и определять их последовательность.

Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алгоритмического предписания следующим образом. Для того, чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:

1) из суммы вычесть одно из слагаемых;

2) сравнить полученный результат с другим слагаемым;

3) если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено верно;

4) в противном случае ищи ошибку.

* Задание 95. Составьте алгоритмические предписания, которыми младшие школьники смогут пользоваться при: а) сложении однозначных чисел с переходом через разряд; б) сравнении многозначных чисел; в) решении уравнений; г) письменном умножении на однозначное число.

Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, из которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий; правильно записывать алгоритм.

Рассмотрим задания, цель которых - выявление способа действия:

Даны числа (см. рисунок). Составь выражения и найди их значения. Сколько всего примеров на сложение можно составить? Как нужно рассуждать при этом, чтобы не пропустить ни одного случая?

При выполнении данного задания ученики осознают необходимость выделения общего способа действий. Например, фиксировать первое слагаемое 31, в качестве второго прибавлять все числа второго столбика, затем в качестве первого слагаемого фиксировать, например, число 41 и опять выбирать все числа из второго столбика, и т. д. Можно фиксировать второе слагаемое и перебирать все числа первого столбика. Важно, чтобы ребенок понял, что, придерживаясь какого-то определенного способа действия, он не упустит ни одного случая и ни один из случаев не запишет дважды.

В зале три люстры и 6 окон. К празднику для украшения от каждой люстры к каждому окну протянули гирлянду. Сколько всего повесили гирлянд? (При решении можно использовать схематический рисунок.)

Для формирования у учащихся умения выявлять способ действия полезны комбинаторные задания. Их особенность в том, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении Необходимо осуществлять перебор в рациональной последовательности. Например:

Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 55522 (цифру 5 можно повторять три раза, 2 - два раза).

Для решения этой комбинаторной задачи можно воспользоваться построением «дерева». Выписывается сначала одна цифра, с которой можно начать запись числа. Дальнейший алгоритм действий сводится к записи цифр, которые можно поставить после каждой цифры, пока не получим пятизначное число. Следуя данному алгоритму, необходимо комбинировать и подсчитывать, сколько раз повторились цифры 5 и 2.

Получились «веточки» с различными числами: 55522, 55252, 55225, 52552, 52525, 52255. Затем выписывается цифра 2.

Записываем числа, двигаясь по «веточкам»: 22555, 25525, 25552, 25255. Ответ: можно записать 10 чисел.

* Задание 96. Подберите комбинаторные задачи, которые вы бы могли предложить ученикам первого, второго и третьего класса при изучении различных понятий начального курса математики.

ГЛАВА 4.ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

4.1. Понятие «задача» в начальном курсе математики

Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, т. е. ту часть, где содержатся сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними, и требование (т. е. указание на то, что нужно найти). Рассмотрим примеры математических заданий из курса начальных классов:

*> Поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи: 3 ... 5, 8 ... 4.

Условие задачи - числа 3 и 5, 8 и 4. Требование - сравнить эти числа.

*> Реши уравнение: х + 4 = 9.

В условии дано уравнение. Требование - решить его, т. е. подставить вместо х такое число, чтобы получилось истинное равенство.

<* Выбери из данных фигур те, из которых можно сложить прямоугольник.

Здесь в условии даны треугольники. Требование - сложить прямоугольник.

Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, дока-

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5