Запам'ятай!

Властивості читаються так: Якщо чотирикутник - паралелограм, то ... (Називай будь - яке з 9 - тверджень.)

Ознаки читаються так: Якщо в чотирикутнику... (називай будь - яке з 9 - тверджень), то він - паралелограм.

При підготовці до лекцій вчитель передбачає успіх, радість, а можна - і завідомо помилкове міркування, щоб після встановлення його фальші (наприклад шляхом контрприкладу) направити учнів правильним шляхом, формулює і пропонує учням задачі практичного змісту. По ходу лекцій Галина Петрівна рекомендує учням задавати питання, вносити пропозиції і при цьому не боятися зробити помилку. Можна навіть перервати пояснення. Обговорення кожного питання повинно викликати участь всього класу. Найкраще, коли учень вносить якомога більше пропозицій, нехай помилкових, ніж мовчить і залишається осторонь від обговорень. Вступна лекція закінчується розв'язуванням усних вправ, записом питань на залік, літератури і розв'язуванням опорних задач.

Навчання математики -це перш за все розв'язування задач. Багато задач, що публікуються в підручниках, задачниках в більшості випадків дублюють одна одну, відрізняються лише числовим значенням, тоді як математична суть одна і та ж. Пуанкаре (французький математик) писав: “Математика - це мистецтво називати різні речі одним і тим же іменем.” В якості прикладу розглянемо три різні задачі: математична суть і розв'язок яких одинаковий.

Задача 1

Майстер може виконати деяку роботу за 20 днів, а учень за 30 днів. За скільки днів вони виконають цю роботу?

Задача 2

Із пункту А в пункт Б відправляється поїзд, який проходить весь шлях за 20 годин, одночасно із Б в А - інший поїзд, який проходить цей шлях за 30 годин. Через скільки годин поїзди зустрінуться?

Задача 3

Кран з холодною водою може наповнити пустий бак за 20 хв., а кран з гарячою - за 30хв.За скільки часу наповниться бак, якщо відкрити зразу два крани?

Розв'язок кожної задачі може бути представлено одними і тими ж арифметичними діями:

Аналізуючи кожну тему з математики, можна виділити 7-8 ключових (опорних) задач. всі інші задачі зводяться до них. Щоб підібрати опорні задачі Галина Петрівна вивчає перед тим всі вихідні підручники, збірники задач, посібники для вступу в вузи. Після розгляду опорних задач на завершальному етапі змістово-пошукового модуля організовує діяльність учнів так, щоб вони одержали достатнє тренування розпізнавання розв'язку і складали різноманітні задачі на основі ключових. Отже, засвоєні опорні задачі необхідна база фундаментальних знань, і навичок по темі.

Сучасна методична наука поки що не створила будь-якого достатньо визначеного “алгоритму” побудови такого циклу задач. Тому вивчення і систематизація різноманітних методів і прийомів побудови таких систем задач, особливо з планіметрії, є актуальною проблемою, як в теоретичному так і в практичному аспектах. Вирішення цієї проблеми допоможе вчителю математики встановлювати взаємозв'язки між окремими зовні розрізненими задачами, самостійно будувати цикл задач, які об'єднує спільна дидактична мета.

Для того щоб показати як працює цей метод в планіметрії викладач пропонує розглянути декілька прикладів. В наведених прикладах назва кожної ключової задачі відповідає тій геометричній ситуації, яка розглядається.

Ключова задача 1. «Медіана проведена до гіпотенузи».

У прямокутному трикутнику довжина медіани, що виходить з вершини прямого кута, дорівнює половині довжини гіпотенузи.

Розв'язання:На промені СМ відкладемо відрізок MD, що дорівнює СМ (рис. 1). У

чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину

діляться навпіл, отже ACBD - паралелограм. Але <ACB=90ъ , значить ACBD - прямокутник.

Звідси

Наслідок. Центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи: .

Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, то цей трикутник прямокутний

Розв'язання:

Використовуючи вищенаведену додаткову побудову, прийдемо до висновку, що ABCD - паралелограм з рівними діагоналями, тобто прямокутник. Звідси

Приклади: Задача 1. Медіана проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, поділила прямий кут у відношенні 1:2. Довжина медіани m. Знайти сторони трикутника.

Розв'язання:

З відомого відношення кутів визначаємо, що , (рис. 2). Оскільки , то трикутники BMC, AMC - рівнобедрені. В Д АМВ кут при основі , тому він рівносторонній, звідки АМ=СМ= m. АС=2СМ=2m. За теоремою Піфагора: Задача 2. BD - медіана прямокутного трикутника АВD (). Нехай К - точка дотику сторони AD трикутника ABD з колом, вписаним в цей трикутник. Знайти кути трикутника АВС, якщо К ділить AD навпіл.

Розв'язання:

Нехай N - точка дотику кола до

Нехай N- точка дотику кола до сторони BD трикутника BDA (рис. 3). Маємо DK=DN=x. Оскільки К - середина AD, AD=AK=x За властивістю медіани, яку проведено до гіпотенузи, BD=AD=2x.

Отже, ABD - рівнобедрений.

Маємо, , .

Задача 3. Знайти сторони AB і CD трапеції ABCD, в якої AB=2CD=2AD, AC=a, DC=b.

Розв`язання:

Проведемо CEРРAD (рис.4). Нехай AD=x. Тоді CE=x, AB=2DC=2x. Але

AE=DC=x. Звідси, CE - медіана трикутника ABC. .

Отже, .

Маємо: .Ключова задача 2. «Середини сторін чотирикутника».

Середини сторін опуклого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі даного чотирикутника.

Розв`язання:

Відрізки FM і KN (рис.5) є середніми лініями трикутників ABC і ADC відповідно. Тоді FMРРAC, і KNРРAC, .Звідси FM=KN, FMРРKN , і отже, чотирикутник FMNK - паралелограм. Нехай площа чотирикутника ABCD дорівнює S. і .Звідси .

Аналогічно . Одержуємо

.

Приклади: Задача 4. Довести, що в опуклому чотирикутнику сума квадратів діагоналей вдвічі більша за суму квадратів відрізків, що сполучають середини протилежних сторін.

Розв'язання:

Скориставшись теоремою про сторони і діагоналі паралелограма, маємо: (рис. 6). Враховуючи, що ,

одержуємо

.

Задача 5. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, довжина однієї з них дорівнює 6 см. Довжина відрізка, що з'єднує середини основ, дорівнює 4,5 см. Знайти площу трапеції.

Розв'язання:

Нехай K і N (рис. 7) -середини бічних сторін трапеції ABCD. FN=4,5 см, AC=6 см і BOA=900. Оскільки KFРРAC і KNРРBD, то кут NKF прямий і KFMN - прямокутник. Тоді з прямокутного трикутника FKN одержуємо: . , а оскільки , то .

Застосовуючи метод ключової задачі, можна значно активізувати самостійно-навчальну діяльність учнів в процесі розв'язування планіметричних задач, а також ліквідувати перевантаження старшокласників, адже вони розв'язують меншу кількість задач як в класі, так і вдома.

Однак знання тільки алгоритму розв'язування ключових задач не може задовольнити тих учнів, які проявляють інтерес до математики. У роботі з ними важливо вчасно перейти до розбору задач нестандартних.

Слід відмінити важливість консультацій. Їх мета навчити учнів задумуватись над проблемою, усвідомити для себе, які виникли труднощі при знайомстві з темою, а для розв'язання цих труднощів - сформулювати питання, в яких він би хотів одержати відповідь.

На контрольно-смисловому модулі вчитель використовує понятійні і математичні диктанти , кросворди, тестові завдання, застосовує таку форму навчання, як співбесіда.

Співбесіда дозволяє через доцільно - складену систему запитань з теми з'ясувати рівень засвоєння вивченого матеріалу кожним учнем. Якщо виявляється недостатня підготовка учнів, то здійснюється індивідуальна робота, призначаються консультації на допомогу цим учням. Проводити заняття вчителю допомагає група асистентів (перевіряють самостійні роботи, виставляють оцінки в контрольний аркуш).

Оскільки мета адаптивно-перетворюючого етапу - формування умінь, навичок і норм діяльності, застосування знань у нестандартних ситуаціях, то на цьому етапі педагог практикує такі форми навчання, як математичні практикуми та консультації.

Мета практикумів:

· вивільнити навчальний час від механічної роботи;

· допомогти вчителю математики та учневі активізувати процес навчання;

· збільшити питому вагу часу, коли учень думає на уроці;

· систематизувати основні типи задач за методами та ідеями їх розв'язування;

· вдосконалити вміння та навички учнів у розв'язуванні задач;

· індивідуалізувати у навчальному процесі відношення учитель-учень;

Перед практикумом учні отримують завдання трьох рівнів:

а) базисного рівня підготовки;

б) ускладненого рівня підготовки;

в) поглибленого рівня підготовки (творчі завдання);

При викладанні математики в нашому закладі використовується рівнева диференціація: поділ паралелі на три рівні.

Група А - підвищений з елементами поглибленого рівня;

Група Б - підвищений рівень;

Група С - базовий рівень.

Проводячи практикум в кожній з цих груп вчитель разом з учнями, врахувавши їх бажання, рівень їх навчальної діяльності, створює міні-групи (4-5 чоловік), тобто:

До складу міні-групи Галина Петрівна намагається відібрати таких учнів, які б взаємно допомагали один одному. Консультанти групи визначають завдання для кожного її члена. Наприклад, хто з учнів буде розв'язувати рівняння графічним способом, а хто способом - підстановки, чи способом алгебраїчного додавання. Вони стежать за роботою всієї групи, допомагають менш підготовленим. Кілька представників від різних груп доповідають про підсумки, обґрунтовують власну думку про те, який зі способів розв'язання вважають найкращим. Тобто спрямовує роботу кожного учня так, щоб його праця протягом модуля була інтенсивна. Після виконання завдання результати обговорюються і оцінюється робота кожного учня.

Системно-узагальнюючий модуль має на меті сформулювати цілісну систему знань учнів. Систематизацію і узагальнення знань учнів вчитель проводить у вигляді семінарів (9-11 класи) або тестового контролю. Семінаром прийнято називати форму навчального заняття, яка передбачає колективне обговорення учнями теми під керівництвом педагога. На семінарі учні набувають досвіду колективної роботи, вчаться самостійно виступати, висловлювати судження з приводу відповідей своїх товаришів, а також здобувати нові знання і самостійно застосовувати знання в нестандартних ситуаціях та ін. Семінар є формою вивчення вузлових питань теми, встановлення взаємних зв'язків між ними.

Страницы: 1, 2, 3, 4