Эрдниев, П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения [Текст] / П.М. Эрдниев - М.: Просвещение, 1992. - 175 с.

Якиманская, И.С. Технология личностно-ориентированного обучения в современной школе. [Текст] / И.С. Якиманская - М.:Сентябрь, 2000.

Блок 1

1. Найдите общий вид первообразных для функции f

a) f(x)=2- х4 . Решение: воспользуемся правилами нахождения первообразных.

f(x) есть сумма двух функций y=2 и y= -x4, т.е. можно воспользоваться правилом нахождения первообразных №1(первообразная суммы равна сумме первообразных), для функции у=2 первообразной является у=2х, для того чтобы вычислить первообразную у функции у= -х4 необходимо воспользоваться правилом нахождения первообразных № 2(постоянный сомножитель можно вынести за знак первообразной), т.е. можно вынести -1, у функции у=х4 первообразной является функция у=,следовательно у= -х4 имеет первообразную у= -, а функция f(x) имеет первообразную F(x)=2x-; Ответ: F(x)=2x-+С.

б) f(x)= . Решение воспользуемся правилом нахождения первообразных №3 (если функция y=g(x) имеет первообразную y=G(x) ,то функция y=g(tx+m) имеет первообразную y=G(tx+m)), т.е. t= -15, m=4 , а g(x)=, следовательно

F(x)= . Ответ: F(x)= +С.

в) f(x)= . Ответ: F(x)= -2tg(р/3-x);

г) f(x)=7-3x+6x2-4x3. Ответ:F(x)=7x -1,5x2+2x3 -x4;

д) f(x)=2сos(2x-1). Ответ: F(x)= sin(2x-1).

2. Найдите неопределённый интеграл

a) Решение: воспользуемся правилами нахождения неопределённого интеграла: .

Ответ:

б) . Ответ: 8; в) . Ответ: 2х -0,25х4 -0,5х -2+С;

г) ; Ответ: -0,25(3+8х)-2 -0,5sin2x; д) . Ответ: 0,5х2 -sinx -4x -4;

3. Вычислите интегралы: a) . Решение: воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница . . Ответ: б) . Ответ: 1; в) . Ответ: 20;

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=, y=0, x=-1, x=1. Фигура ограниченная данными линиями является криволинейной трапецией и её площадь равна: Ответ: 0,4.

Блок 1 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=3-sinx, f(x)=cosx, x(-; );

б) F(x)=5-, f(x)= - 4, x(-; );

в) F(x)=соsx-4, f(x)= - sinx, x(-; );

г) F(x)=3x+, f(x)= , x(0; )?

Ответ: нет, да, да, нет.

2. Правильно ли вычислены интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?

Ответ: нет, да, нет, да, да.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0, x=0, x=.

Ответ:2.

4. Верны ли равенства:

а) ; б) ; в) ;

г) д) ;

е) ?

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=1- x3, y=0, x=0;

б) y=sinx, y=0, x=/6, x=/3.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x4, y=1;

б) y=2sinx, y=0, x=/6, x=/3.

Блок 2 Задачи

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) . Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С.

б) . Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .

Ответ: .

2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(-0,5;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx+C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5р)=1, но F(x)=2sinx+C, следовательно , откуда С= -1. Ответ: F(x)=2sinx -1.

3. Вычислите интеграл:

; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= (x+2)2, y=0, x=0. Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен -2 т.к. в точке

(-2;0) график функции пересекает прямую у=0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=0. .

Ответ: .

Блок 2 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=2x +cos, f(x)= 2 - sin, x(-; ); б) F(x)=, f(x)= -, x(-2;2);

в) F(x)= , f(x)= , x(0; ); г) F(x)= , f(x)= , x(0; )?

Ответ: да, да, нет, да.

2. Для функции f(х)= найдите первообразную, график которой

проходит через точку М(4;5):

а) F(х)=+3; б) F(х)=2+1; в) F(х)=2+3; г) F(х)=+5.

Ответ: б)

3.Верны ли равенства:

а) ; б); в);

г) ; д) ?

Ответ: да, да, да, нет, да.

Блок 2 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б); в) ; г) ;

д) .

2. Графики первообразных F1 и F2 функции f(x)=3x2 -2x+4 проходят через точки М(-1;1) и N(0;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1 и F2 расположен выше?

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x2 -2x+4, y=3, x=-1;

б) y=sinx, y=1/2, x=/6, x=5/6.

Блок 2 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б); в) ; г) ;

д) .

2. Графики первообразных F1 и F2 функции f(x)=-6x2 +4x+1 проходят через точки М(0;2) и N(1;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1 и F2 расположен выше?

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x3 , y=8, x=1;

б) y=cosx, y=1, x=-/3, x=/3.

Блок 3 Задачи.
Покажите, что функции F1 (x)=tg2x, F2 (x)= , F3 (x)= являются первообразными функции f(x)= на интервале (-/2; /2). Найдите первообразную для функции f на интервале

(-/2; /2), график которой проходит через точку (0;10).

2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 3x2 .

3. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= sint cost. Найдите уравнение движения точки, если при t=/4 её координата равна 3.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 2x-4x2 , линией x=-2 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=0.

5. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороной в её середине?

Блок 3 Тест самоконтроля

1.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=f(/2-x).

Ответ: f(x)=cosx, F(x)=sinx.

2. Являются ли первообразными для одной и той же функции F1(x)=2соs2x, F2(x)=cos2x, F3(x)=3соs2x+ sin2x ? Если да, то укажите эту функцию.

Ответ: f(x)=-2sinx, F2(x)= F1(x)-1, F3(x)= F1(x)+1.

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (3;7), если угловой коэффициент касательной в точке x равен x2 .

Ответ: y=1/3x3-2 (угловой коэффициент касательной в точке x - производная в этой точке).

4. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= 2соs . Найдите уравнение движения точки, если при t=/3 её координата равна 4.

Ответ: x(t)= 4sin +2 ( x'(t)= v(t) ).

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=2,5+2x-0,5x2 , линией x=-1 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=3.

Ответ: 10

Блок 3 Контрольный тест Вариант 1

1.Приведите пример ограниченной на интервале функции с неограниченной на этом интервале первообразной.

2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что f(x)=2F(/2-2x).

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (/4 ;5), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 6cosx .

4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=-2t. В начальный момент t0 =1 её координата x0 =4 и скорость v0 =2. Найдите уравнение движения точки.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой x2- 4x+5 и касательными к ней, проведёнными через её точки с абсциссами x=1 и x=3.

Блок 3 Контрольный тест Вариант 2

1.Приведите пример ограниченной на R функции с ограниченной на R первообразной.

2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=-f(/2-x).

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (/4 ;-3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен sinx .

4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=sint. В начальный момент t0 =/2 её координата x0 =2 и скорость v0 =1. Найдите уравнение движения точки.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=8x-2x2 , линией x=0 и касательной к данной параболе, проведённой через её вершину.

Блок 4

1. Докажите следующую формулу: , где u, v -произвольные функции, dv, du - производные функций v и u.соответственно.

2. Используя выше доказанную формулу найти интеграл

3.Найдите наибольшее и наименьшее значение интеграла

Уровневая контрольная работа

1. Найдите неопределённый интеграл

а) ;

б) ;

2. Вычислите площадь фигуры ограниченной графиками функций

и

3. Вычислите определённый интеграл

а) ;

б)

4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции , касательной к нему в точке х=1 и осью у.

5. При каком отрицательном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями равна .

При составлении тестов использовались задания учебников [2, 5, 9, 11, 14].

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8