Рефераты. Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни “Математика”

на тему

„ВИКЛАДЕННЯ ТЕМИ „ТРИКУТНИКИ" ПО ПРОГРАМІ КУРСА

ГЕОМЕТРІЇ В 7 КЛАСІ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ"

Виконавець: студент групи

Перевірив:

м. Дніпропетровськ 2010 р.

Анотація

Курсова робота на 25 стор.,20 рис., 1 табл., 8 джерел літератури.

Систематизований учбовий матеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометрії для 7 класу 12 - річної школи. Наведений перелік нових підручників „Геометрія 7 клас”, які у 2008 - 2009 році створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Результати можуть бути використані в якості практичного посібника - конспекта вчителю при викладені глави „Трикутники" в курсі „Геометрія” для 7 класу середньої школи.

The summary
Course work on 25 pages,20 fig., 1 tab., 8 sources of the literature.

The educational material of a statement of a subject „Triangles” under the new program of geometry for 7 classes 12 - years schools is systematized. The list of the new tutorials „ Geometry 7 classes ” is given which in 2008 - 2009 are issued according to State standard and new programs on geometry for 7 classes of a school.

The results can be used as the practical grant - abstract to the teacher at a statement of the chapter „Triangles” in a rate „Geometry" for 7 classes of a school.

Зміст

Вступ

1. Трикутник і його елементи
2. Ознаки рівності трикутників
3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки
4. Висота, бісектриса і медіана трикутника
5. Сума кутів трикутника
6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників
7. Зовнішній кут трикутника та його властивості
8. Нерівність трикутника
Висновки
Список використаної літератури

Вступ
В курсовій роботі конспективно викладений теоретичний матеріал теми „Трикутники" в курсі геометрії 7 класу, який згідно “Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи" (видавництво “Перун”, Київ, 2005р. - у науково-методичному журналі “Математика в школі" №2, 2006 р) розподілений на 3 частини в новій програмі курсу „Геометрія” у 7 (введено в 2007/2008 навч. році), 8 (введено в 2008/2009 навчальному році), 9 (введено в 2009/2010 рр.) класах 12 річної школи.

У 2007 - 2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи.

Нова програма з геометрії для 7го класу містить такі теми: найпростіші геометричні фігури та їх властивості; взаємне розташування прямих на площині; трикутники; коло і круг (геометричні побудови).

В курсовій роботі систематизований матеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометрії для 7 класу 12 - річної школи згідно підходу, викладеному в підручниках:

“Геометрія.7 клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;

“Геометрія.7 клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;

“Геометрія.7 клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.

Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

В роботі використаний графічний матеріал з посібників:

Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. - 2е изд. - М.: Просвещение, 2001.;

Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7-11 класів. - X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006.

1. Трикутник і його елементи
Трикутником називається фігура, що складається із трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника.

На рисунку 1.1 наведений трикутник з вершинами й сторонами .

Рис.1.1 Визначення основних елементів трикутника [5]

Трикутник позначається вказівкою його вершин. Замість слова „трикутник ” іноді вживають знак . Наприклад, трикутник на рисунку 1.2 позначається так: .

Рис.1.2 Трикутник та визначення кутів , , при його вершинах А, В, С [5]

Кутом трикутника при вершині називається кут , утворений напівпрямими й (див. рис.1.2). Так само визначаються кути трикутника при вершинах і .

Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину. Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.

Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні сторони й відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути повинні лежати проти відповідних сторін.

На рисунку 1.3 два рівних трикутники й .

Рис. 1.3 До визначення рівності трикутників [8]

У них

На кресленні відрізки звичайно відзначають однією, двома або трьома рисками, а рівні кути - однієї, двома або трьома дужками (див. рис.1.3).

Для позначення рівності трикутників використовується звичайний знак рівності: =. Запис : = читається так: „Трикутник дорівнює трикутнику ". При цьому має значення порядок, у якому записуються вершини трикутника. Рівність = означає, що

. А рівність = означає вже зовсім інше:

Задача 1.1 Трикутники і рівні. Відомо, що сторона дорівнює , а кут дорівнює . Чому рівна сторона й кут ?

Розв'язок. Тому що трикутники й рівні, то в них , C=R. Виходить, м, R=900.

2. Ознаки рівності трикутників
Теорема 2.1 (Перша ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними). Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Рис.2.1 До теореми 2.1 (ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними) [8]

Доведення.

Нехай у трикутників й - дві сторони та кут між ними рівні: (див. рис.2.1). Доведемо, що трикутники рівні.

Нехай - трикутник, дорівнює трикутнику , з вершиною на промені й вершиною в тій же напівплощині відносно прямій , де лежить вершина (рисунок 2.2, а).

Рис.2.2, а) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]

Тому що , то вершина збігається з вершиною (див. рис.2.2, б).

Рис.2.2, б) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]

Тому що то промінь збігається із променем

(див. рис.2.2, в).

Рис. .2.2, в) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]

Тому що =, то вершина збігається з вершиною (рис.2.2, г).

Рис.2.2, г) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]

Отже, трикутник збігається із трикутником , виходить, дорівнює трикутнику .

Теорема доведена.

Теорема 2.2 (Друга ознака рівності трикутників по стороні й прилеглим до неї кутам).

Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.

Нехай і - два трикутники, у яких

(рисунок 2.3).

Рис.2.3 До доведення 2ї ознаки рівності трикутників [8]

Доведемо, що трикутники рівні.

Нехай - трикутник, дорівнює трикутнику з вершиною на промені й вершиною в тій же напівплощині відносно прямій , де лежить вершина .

Тому що , то вершина збігається з вершиною . Тому що й , то промінь збігається із променем , а промінь збігається із променем . Звідси витікає, що вершина збігається з вершиною .

Отже, трикутник збігається із трикутником , а виходить, дорівнює трикутнику .

Теорема доведена.

Теорема 2.3 (Третя ознака рівності трикутників по трьох сторонах).

Якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.

Нехай і два трикутники, у яких . Потрібно довести, що трикутники рівні.

Допустимо, трикутники не рівні. Тоді в них . Інакше вони були б рівні по першій ознаці.

Нехай - трикутник, дорівнює трикутнику , у якого вершина лежить в одній напівплощині з вершиною відносно прямій (рисунок 2.4).

Рис.2.4 До доведення 3 признаку рівності трикутників [8]

Нехай середина відрізка й - рівнобедрені із загальною основою . Тому їхні медіани й перпендикуляри прямої . Прямі й не збігаються, тому що точки не лежать на одній прямій. Але через точку прямої можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя

Теорема доведена.

Задача 2.1 Відрізки й перетинаються в точці , що є серединою кожного з них. Чому дорівнює відрізок , якщо відрізок м?

Розв'язок. Трикутники й рівні по першій ознаці рівності трикутників (рисунок 2.5).

Рис.2.5 До задачі 2.1 [8]

У них кути й рівні як вертикальні, а й тому, що точка є серединою відрізків і . З рівності трикутників і треба рівність їхніх сторін і . А тому що за умовою задачі м, те й м.

Задача 2.2 У трикутників і . Доведіть, що .

Розв'язок. Нехай і дані трикутники (рисунок 2.6).

Рис.2.6 До задачі 2.2 [8]

Побудуємо трикутник , який дорівнює трикутнику , і трикутник , який дорівнює трикутнику .

Трикутники й рівні по третій ознаці. У них за умовою задачі; тому що ; , тому що . З рівності трикутників і треба рівність кутів . Тому що за умовою ,, а , по доведеному, то трикутники й рівні по першій ознаці.

3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки
Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.

На рисунку 3.1 зображений рівнобедрений трикутник . У нього бічні сторони й , а основа.

Рис.3.1 До визначення рівнобедреного трикутника [8]

Теорема 3.1 (властивість кутів рівнобедренного трикутника)

В рівнобедренному трикутнику кути при основі рівні.

Доведення.

Нехай - рівнобедрений трикутник з основою (див. рис.3.2). Доведемо, що в нього .

Рис.3.2 До доведення теореми 3.1 [8]

Трикутник дорівнює трикутнику по першій ознаці рівності трикутників. Дійсно, З рівності трикутника треба, що .

Теорема доведена.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім.

Теорема 3.2 (ознака рівнобедреного трикутника).

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Доведення. Нехай - трикутник, у якому (рисунок 3.3).

Рис. 3.3 До доведення теореми 3.2 [8]

Доведемо, що він рівнобедрений з основою .

Трикутник дорівнює трикутнику по другій ознаці рівності трикутників. Дійсно, З рівності трикутників треба, що . Виходить, по визначенню трикутник рівнобедрений.

Теорема доведена.

Теорема (3.2) називається зворотньою теоремі (3.1). Висновок теореми (3.1) є умовою теореми (3.2). А умова теореми (3.1) є висновком теореми (3.2). Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, те зворотна теорема може бути невірна.

Теорема 3.3 (властивість медіани рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою й висотою.

Доведення. Нехай - даний рівнобедрений трикутник з основою й - медіана, проведена до основи (рисунок 3.4)

Рис.3.4 До доведення теореми 3.3 [8]

Трикутники й рівні по першій ознаці рівності трикутників. (У них сторони й рівні, тому що трикутник рівнобедрений. Кути й рівні як кути при підставі рівнобедреного трикутника. Сторони й рівні, тому що - середина відрізка )

З рівності трикутників витікає рівність кутів: . Тому що кути й суміжні й рівні, те - бісектриса. Тому що кути й суміжні й рівні, то вони прямі, тому висота трикутника.

Страницы: 1, 2