Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

еорема доведена.

Задача 3.1 Доведіть, що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.

Рішення. Нехай - даний трикутник з рівними сторонами: (рисунок 3.5).

Рис.3.5 До задачі 3.1 [8]

Тому що , то цей трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Тому що , то трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Таким чином, , тобто всі кути трикутника рівні.

Задача 3.2 Сформулюйте й доведіть теорему, зворотну твердженню задачі 3.1

Розв'язок. У задачі 3.1 умова полягає в тому, що трикутник рівносторонній, а висновок - у тім, що всі кути трикутника рівні. Тому зворотна теорема повинна формулюватися так: якщо в трикутника всі кути рівні, то він рівносторонній.

Доведемо цю теорему. Нехай - трикутник з рівними кутами: . Тому що , то по теоремі 3.2 . Тому що , те по теоремі 3.2 . Таким чином, тобто всі сторони трикутника рівні. Виходить, по визначенню трикутник рівносторонній. Задача 3.3 Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежній основі, є медіаною й висотою. Розв'язок. Нехай - рівнобедрений трикутник з основою і його бісектрисою (рисунок 3.6).

Рис. 3.6. До задачі 3.3 [8]

Трикутники й рівні по першій ознаці. У них сторона загальна, сторони й рівні як бічні сторони рівнобедреного трикутника, а кути при вершині рівні, тому що - бісектриса. З рівності трикутників витікає рівність їхніх сторін і . Виходить, - медіана трикутника . А по властивості медіани рівнобедреного трикутника вона є й висотою.

4. Висота, бісектриса і медіана трикутника
Визначення. Висотою трикутника, опущеної з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. (рисунок 4.1)

Рис.4.1 До визначення висоти трикутника (можливі випадки побудови висоти трикутника) [5]

Визначення. Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, яка поділяє кут при вершині на два рівні кути та з'єднує цю вершину із крапкою на протилежній стороні (рисунок 4.2).

Визначення. Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину із серединою протилежної сторони трикутника (рисунок 4.2).

Рис.4.2 До визначення бісектриси та медіани трикутника [5]

5. Сума кутів трикутника
Теорема 5.1. Сума кутів трикутника дорівнює .

Рис.5.1. Визначення суми кутів трикутника [5]

Доведення.

Нехай - даний трикутник. Проведемо через вершину пряму, паралельну прямій . Відзначимо на ній точку так, щоб точки й лежали по різні сторони від прямій (рисунок 5.2).

Рис. 5.2. До доведення теореми 5.1 [8]

Кути й рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною з паралельними прямими й . Тому сума кутів трикутника при вершинах і дорівнює куту .

А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів і . Тому що ці кути внутрішні однобічні для паралельних і й січній , то їхня сума дорівнює .

Теорема доведена.

З теореми 5.1 витікає, що в будь-якого трикутнику хоча б два кути гострі.

Дійсно, допустимо, що в трикутника тільки один гострий кут або взагалі немає гострих кутів. Тоді в цього трикутника є два кути, кожний з яких не менше . Сума цих двох кутів уже не менше . А це неможливо, тому що сума всіх кутів трикутника дорівнює . Що й було потрібно довести.

6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників
Трикутник називається прямокутним, якщо в нього є прямий кут.

Тому що сума кутів трикутника дорівнює , то в прямокутного трикутника тільки один прямий кут.д.ва інших кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює .

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рисунок 6.1).

Рис.6.1. До визначення прямокутного трикутника [5]

Відзначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі й катету. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (див. рисунок 6.2).

Рис.6.2. До визначення рівності прямокутних трикутників [8]

Задача 6.1. Доведіть, що в прямокутному трикутнику з кутом катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.

Рішення. Нехай - прямокутний трикутник із прямим кутом і кутом , рівним (рисунок 6.3).

Рис.6.3. До задачі 6.3 [8]

Побудуємо трикутник , який дорівнює трикутнику , як показано на Рис.6.3.

У трикутника всі кути рівні , тому він рівносторонній. Тому що , а , то . Що й було потрібно довести.

7. Зовнішній кут трикутника та його властивості
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині (рисунок 7.1).

Рис.7.1. До визначення зовнішнього кута трикутника [5]

Щоб не плутати кут трикутника при даній вершині із зовнішнім кутом при цій же вершині, його іноді називають внутрішнім кутом.

Теорема 7.1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з ним.

Доведення.

Нехай - даний трикутник (рисунок 7.2).

Рис.7.2. До теореми 7.1 [5]

По теоремі про суму кутів трикутника

Звідси витікає, що

У правій частині цієї рівності стоїть градусна міра зовнішнього кута трикутника.

Теорема доведена.

З теореми 7.1 витікає, що зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Задача 7.1. У трикутнику проведена висота . Яка із трьох точок лежить між двома точками, якщо кути й трикутника гострі? Рішення. Точка не може лежати між точками й (рисунок 7.3),

Рис. .7.3. До задачі 7.1 [8]

то гострий кут як зовнішній кут трикутника був би більше прямого кута . Точно так само доводиться, що й точка не може лежати між точками й . Виходить, точка лежить між точками й .

8. Нерівність трикутника
Якщо точки й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.

Теорема 8.1 (нерівність трикутника).

Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.

Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.

Доведення.

Нехай - три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.

Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад . У цьому випадку . Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.

Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).

Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику [8]

Доведемо, що . Опустимо перпендикуляр на пряму . По доведеному . І тому що й , те .

Теорема доведена.

Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.

Розв'язок (рисунок 8.2).

Рис.8.2. До задачі 8.1 [8]

По нерівності трикутника , причому якщо центр не лежить на відрізку , то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.

Висновки
У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.

Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.

7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год)

№ п/п	Назва теми	Кількість годин	Кількість тематичних оцінювань
I	Найпростіші геометричні фігури та їх властивості	4	діагностичне
II	Взаємне розташування прямих на площині	12	1
III	Трикутники	18	1-2
ІV	Коло і круг. Геометричні побудови	14	1
V	Повторення і систематизація навчального матеріалу	6	1

Навчання математики у 7х класах загальноосвітніх навчальних закладах з 2007/2008 навчального року здійснюється за новими підручниками:

“Геометрія. 7 клас” (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н. А) видавництва “Освіта”;

“Геометрія. 7 клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;

“Геометрія. 7 клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;

“Геометрія. 7 клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.

Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Список використаної літератури

1. ?????????? ?.?. ?????????: 7: ???????. ??????. ??? ?????????????. ????. ????. / ?.?. ??????????. - ?.: ??????, 2009. - 304 ?.

2. ???? ?.?., ???? ?.?., ??????????? ?. ? “?????????.7 ????” - ?.: ”??????????? “????””, 2008 - 224 ?.

3. ????? ?.?., ??????????? ?.?. “?????????.7 ????” - ?: „??????????? “??????”", 2008. - 198 ?.

4. ?????????: ????. ??? 7-9 ??. ????. ??. /?.?. ????????, ?.?. ???????, ?.?. ???????? ? ??. - 3? ???. - ?.: ???????????, 1992. - 335 ?.

5. ???????? ?.?. ????????? ? ???????????, ???????? ? ????????: ?????????? ???????? ??? ????? 7-11 ??????. - X.: ?????: ??????????? „?????”, 2006. - 96 ?.

6. ??????? ?.?., ?????????? ?.?., ???? ?.?. “?????????.7 ????” - ?:, „??????????? “????????”", 2008. - 352 ?.

7. ???????????. ??????? ??? ???????????? ???????? ?????????? / ?.?. ???????, ??. ????????, ?.?. ??????, ?.?. ????????, ?.?. ?????. ?.: ?????????, 2005. - 488 ?.

8. ????????? ?.?. ?????????: ????. ??? 7-9 ??. ?????????????. ??????????/ ?.?. ?????????. - 2? ???. - ?.: ???????????, 2001. - 224 ?.

Страницы: 1, 2