Для одержання формули по обчисленню радіусів горизонталей конусів розглянемо два подібних трикутника /рис. 3.27/: ?ВВ2L та ?ВВ1К. На основі подібності трикутників запишемо ВВ2/В2L = BB1/B1K.
Позначимо відрізки BB2 ,B2L, ВВ1, B1K відповідно h, R, 1 , l. Підставляюча нові позначення величин в останнє співвідношення, маємо h/R = 1/l, звідки радіуси R горизонталей конуса із заданими числовими відмітками визначаємо за формулою; R = hl, /3.2/
де h - підйом між відомою числовою відміткою площини, в яку уcтановлена вершина прямого кругового конуса, твірні якого мають нахил, рівний спаду площини, і числовою відміткою рівня, на якому провадиться горизонталь площини; l - інтервал площини.
Розв'язування даної задачі на плані показано на рис. 3.28. Спочатку знаходимо точки прямої, що мають цілочисельні відмітки. В даному випадку де точки А та В , які мають числові відмітки відповідно 1 та 2 м. Потім виконуємо побудову в такій послідовності :
1. Будуємо горизонталі конуса, які мають нульову відмітку. Для цього з точок А1 та В2 /рис. 3.28/ як із центрів проводимо дуги кіл радіусами згідно з /3.2/: R1 =hl = (1-0) l = l = 2м, R3 = hl = (2-0) l = 2l = 2*2 = 4м. Ці дуги кіл радіусів R1 та R3 визначають горизонталі конусів з вершинами S1 та S2, які мають нульову відмітку /див. рис. 3.27/
2. Проводимо прямолінійну дотичну до горизонталей конусів з нульовою відміткою, яка буде горизонталлю площини укоса г з нульовою відміткою.
3. Дня того щоб провести горизонталь площини укоса з числовою відміткою 1 м, спочатку із точка В2 проводимо дугу горизонталі конуса радіусом R2 = hl = (2-1) l = 2м , застосовуючи формулу /3.2/.
4. Із точка А1 з числовою відміткою 1 м проводимо прямолінійну дотичну до горизонталі конуса радіусу R2, яка є горизонталлю площини укоса г з числовою відміткою 1 м.
5. Проводимо масштаб спаду площини гі перпендикулярно до горизонталей площини укоса з числовими відмітками 1 та 0.
у розглянутих прикладах не градуювання площини земляного укоса, заданої прямолінійною нахиленою бровкою і спадом площини /рис. 3.27 і 3.28/, а також на проведення площини укоса заданого спаду через прямолінійну нахилену бровку /див. рис. 3.22 ї 3.23/ використовувались горизонталі прямого кругового конуса як допоміжні лінії при побудові горизонталей укосів.
З цих прикладів випливають такі висновки:
1. Горизонталями пряного кругового конуса і їх проекціями є концентричні кола.
2. Радіуси суміжних горизонталей, різниця числових відміток яких дорівнює одиниці, відрізняються на один інтервал твірної конуса, який дорівнює інтервалу площини, дотичної до прямого кругового конуса.
3. Різниця числових відміток горизонталі конуса і його вершини дорівнює кількості інтервалів, що містяться в радіусі цієї горизонталі: якщо довжина радіуса горизонталі конуса дорівнює двом інтервалам, то числова відмітка горизонталі конуса на дві одиниці більша /або менша/ відміткам вершка конуса.
Розглянемо ще один, поширений в практиці приклад на використання горизонталей конусів як допоміжних ліній. Побудуємо горизонталі укосів насипу нахиленого в'їзду на греблю, якщо спад в'їзду і = 1:5, а спад укосів насипу ін = 1:1,5 /рас. 3.29/. Для цього:
1/ градуюємо площину нахиленого в'їзду. Спочатку градуюємо нижню бровку в'їзду, враховуючи, що відстань між точками бровки, що мають послідовні цілочисельні відмітки дорівнює інтервалу площини в'їзду: l = 1/і = 5 м. Відмітки 60, 59, 58 та 57 переносимо на верхню бровку в'їзду. Оскільки бровки в'їзду являють собою проекції ліній найбільшого скату площинив'їзду, то із точок нижньої бровки з відмітками 60, 59, 58 та 57 проводимо прямі, перпендикулярні до бровки /ці прямі є горизонталями площини в'їзду/, які перетинають верхню бровку у точках, що мають відпоаїдні числові відмітки 60, 59, 58 та 57.
Таким чином, виконано градуювання площини нахиленого в'їзду проведено в ньому горизонталі з числовими відмітками 60, 59, 58 та 57;
2/ градуюємо нижній укіс насипу. У будь-яку точку нижньої бровки, наприклад з відміткою 60, розмістимо вершину прямого кругового конуса і з неї як із центра описуємо дугу кола, щo є допоміжною горизонталлю конуса, радіусом, рівним інтервалу укоса насипу: l = 1/i = 1,5 м. Відмітка цієї горизонталі конуса буде на одиницю менша від числової відмітки вершини і становитиме 59 м;
З/ проводимо ряд дуг кіл, які є також допоміжними горизонталями конуса, радіусами, рівними 2lH, 3lH , i одержимо горизонталі конуса з числовими відмітками 58, 57 м;
4/ дотично до горизонталей конуса з відмітками 59, 58, 57 м iз точок бровки з відповідними числовими відмітками проводимо горизонталі нижнього укоса насипу;
5/ перпендикулярно до горизонталей нижнього укоса проводимо масштаб спаду площини.
Задачу можна спростити, як це показано для верхнього укоса. Досить провести одну допоміжну горизонталь конуса з відміткою 59 м і дотично до неї а точки верхньої бровка з відміткою 59 м - горизонталь укоса, яка має числову відмітку 59 м. Усі наступні горизонталі з цілочисельними відмітками проводять паралельно горизонталі з відміткою 59 м, причому відстань між горизонталями дорівнює інтервалу укоса lH = 1,5 м.
3.4 Визначення площ укосів
Для того щоб визначити площу укосів насипу та виїмки, необхідно знайти натуральну величину відсіку площини укоса, що можна здійснити методом обертання відсіку площини укоса навколо горизонталі.
Наприклад, необхідно визначити площу правого укоса насипу AВCD, що примикає до горизонтального майданчика а відміткою 40,0 м /рис. 3.30/. Спочатку визначимо натуральну величину відсіка площини укоса, який є трапецією AВCD. Для цього площину укоса необхідно сумістити з однією з горизонтальних площин рівня. Оскільки укіс АВСD являє собою трапецію, в якій основи AB та CD є горизонталями з числовими відмітками відповідно 40 та 35 м, площину укоса слід сумістити з горизонтальними площинами рівня, що мають числові відмітки 40 та 35 м. Сумістимо площину укоса з горизонтальною площиною з відміткою 35 м. Позначимо цю площину р35 . Обертання площини укоса будемо здійснювати навколо горизонталі CD з відміткою 35 м.
Для побудови натуральної величини площини укоса сумістимо з р35 точки А та В укоса. Визначимо радіуси обертання точок А та В. Для цього на плані з точок А40 та В40 проводимо прямі, перендикулярні до С35 D35, точка перетину яких з C35 D35 позначимо К та L. . Точки K та L є центрами обертання точок A та B , а A40K та B40L - проекціями радіусів обертання, які у даному прикладі рівні між собою (A40K = B40L) і є лініями найбільшого скату площини правого укоса.
Проекції точок А та В на плані при обертанні навколо CD будуть переміщуватись по прямих А40К та В40L та їх продовженнях. При суміщенні площини укоса з р35 радіуса обертання АК та ВL проецюються на р35 у натуральну величину. Тому знайдемо натуральну величину радіусів АК та BL. На рас. 3.30 натуральні
величини радіусів АК та BL визначені способом прямокутного трикутника: А'К та В'L - натуральні величина радіусів обертання АК та ВL.
Із точок К та L як із центрів радіусам А'К та В'L проводимо дугу кола до перетину з продовженням прямих А40К та В40L одержуємо точки А та В, які є проекціями суміщенних з р35 точок А та В і мають числові відмітки 35 м. Після суміщення всі точки вершин трапеції AВCD площини укоса мають однакові числові відмітки, що дорівнюють 35 м. Отже, сполучивши точки А та В між собою, точку А - з D35, а В - з С35, одержимо натуральну величину площини укоса, що дорівнює трапеції АВСD/рис. 3.30/. Це дає змогу визначити і площу укоса.
Площі укосів насипу та виїмки можна визначити планіметром, палеткою або графічним методом - шляхом розбивання їх на найпростіші геометричні фігури.
Розділ 4. Взаємне положення двох площин, прямої та площини
4.1 Взаємне положення двох площин
Дві площини у просторі можуть бути: паралельними; збігатися; перетинатися.
Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини. В проекціях з числовими відмітками найбільш зручно застосовувати горизонталі та ЛНС як прямі площини, що перетинаються. На рис. 4.1. земляні укоси задані на плані прямолінійними горизонтальними бровками 7.0 та 9.0 і лініями найбільшого скату k, l , які мають нахили i = 1:2. Задані укоси паралельні, тому що горизонталі і лінії найбільшого скату k та l паралельні / k//l, оскільки напрями їх горизонтальних проекцій паралельні, а нахили і напрями скату однакові/.
Із викладеного випливає, що для визначення паралельності двох площин необхідно в них провести горизонталі, і якщо вони будуть паралельні, то при однакових величинах спаду ї напрямах скату задані площини будуть паралельні.
Наприклад, необхідно визначити паралельність площин двох земляних укосів, заданих на плані /рис. 4.2/ прямолінійними нахиленими бровками А20 В22 , С25, D28 і величинами спаду, які, як і напрями скату, однакові для обох площин. Для цього проводимо у площині укосів горизонталі, причому вони монуть мати різні числові відмітки. В одному укосі з точки В22 як із центра проводимо горизонталь конуса радіусом, що дорівнює двом інтервалам / l = 2 м/ і дотично до неї проводимо з точки А20 пряму, яка буде горизонталлю 20 площини укооа з відміткою 20. У другому укосі проводимо горизонталь 25.
Укоси, показані на рис. 4.2, паралельні, тому що виконуються три умови паралельності площин:
1/ горизонталі площин паралельні;
2/ величини спаду площин /їх інтервалів або кутів нахилу/ однакові;
3/ напрями скату площин однакові.
Якщо площини задані масштабами спаду, то у взаємно паралельних площин:
1/ масштаби спаду паралельні;
2/ інтервали масштабів спаду дорівнюють один одному; 3/ числові відмітки масштабів спаду зростають або зменшуються в одному і тому ж напрямку.
На рис. 4.3 площини г та щ , задані масштабами спаду, паралельні, оскільки виконуються всі три вимоги паралельності площини. Відзначимо, якщо умови паралельності двох площин виконуються, але крім цього, встановлено, що хоча б одна пара горизонталей площин з однаковими числовими відмітками збігається, то такі площини збігаються одна з одною. Якщо хоча б одна із умов паралельності площин не виконується, то такі площини перетинаються.
Знаходження лінії перетину двох площин мав велике значення при проектуванні земляних споруджень.
Побудова ліній перетину двох площин у проекціях з числовими відмітками грунтується, як і в розділі ортогональних проекцій, на способі допоміжних січних, площин. Зручно застосовувати горизонтальні допоміжні січні площини, що перетинають задані по горизонталях. Отже, задача на побудову лінії перетину двох площин зводиться до знаходження точок перетину горизонталей площин з однаковими числовими відмітками.
Для побудова лінії перетину двох площин /рис. 4.4/ проводимо горизонтальну допоміжну січну площину р20, яка має числову відмітку 20. Площина р20 перетинає площину б та в по горизонталям 20. Горизонталі 20 площин б та ? лежать в одній площині і тому перетинаються у точці К, яка належить лінії перетину площин б та в.
Оскільки лінією перетину двох площин є пряма, що визначається двома точками, тo для побудови другої точки, яка належить лінії перетину, проводимо другу горизонтальну допоміжну січну площину р18 з відміткою 18. Друга точка L лінії перетину визначиться як точка перетину горизонталей 18 площин б та ? , по яких площина р18 перетинає площини б та в. Пряма, що проходить через точки К та L , є шуканою лінією перетину площин б та ? .
На практиці при побудові лінії перетину двох площин на плані допоміжні січні площини без потреби не проводять, а для визначення точок, що належать лінії перетину, застосовують горизонталі площин, які мають однакові числові відмітки, оскільки будь-які дві горизонталі з однаковими відмітками, не паралельні одна одній, перетинаються. Тому лінія перетину в проекціях з числовими відмітками визначається як пряма, що проходить через точки перетину двох будь-яких горизонталей однієї площини з двома горизонталями другої площини, які мають такі ж числові відмітки.
Послідовність побудова лінії перетину двох площин;
1. Проводимо горизонталі з однаковими числовими відмітками у кожній з площин, що перетинаються, і зазначаємо точку їх взаємного перетину.
2. Другу точку, що належить лінії перетину, знаходимо, виконуючи такі ж побудови, але з іншою парою горизонталей з однаковими числовими відмітками.
3. Через одержані точки проводимо пряму лінію, яка є шуканою лінією перетину заданих двох площин.
Визначимо лінію перетину KL площин двох земляних укосів б та ? , заданих своїми масштабами спаду б та в /рис. 4.5/.
Для цього: 1/ побудуємо проекцію точки К . Через числові відмітки 20 на масштабах спаду перпендикулярно до б проводимо горизонталь 20 площини б і перпендикулярно до в - горизонталь 20 площини в . Відмічаємо точку К20 взаємного перетину проведених горизонталей. Ця точка є проекцією точки К лінії взаємного перетину площин б та в;
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
