Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе

онятие преобразование подобия и его свойства;

Гомотетия и её свойства;

Определение подобных фигур, свойства подобных фигур;

Определение подобных треугольников;

Признаки подобия треугольников;

Метод подобия;

Система задач по данной теме;

Понятие преобразование подобия и его свойства.

В рассмотренных учебниках понятие преобразование подобия и его свойства чаще всего не изучается, только в учебниках Атанасяна Л.С., тема, изучается индуктивно и рассмотрению подобных треугольников не предшествует. Данные понятия прилагаются в рамках других тем изучаемых позже.

Например, в учебнике Александрова А.Д. предлагаются следующие определения преобразования подобия: «Подобием называется преобразование, при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и тоже число, называемое коэффициентом подобия», «Подобием фигуры с коэффициентом k>0 называется такое её преобразование, при котором любым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X?ґ? и Yґ, что XґYґ=k*XY». Рассмотренные определения вместе составляют аналогичное определение в учебнике Погорелова «Преобразование фигуры F в фигуру Fґ, называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Произвольные точки X и Y фигуры F при отображении подобия переходят в точки Xґ ,Yґ фигуры Fґ, то XґYґ=k*XY, причём число k одно и тоже для всех точек X и Y, число k называется коэффициентом подобия».

В учебных пособиях рассмотренных выше определения преобразования подобия не выделяются и не привлекают внимание учащихся.

Совершенно иначе вводится определение преобразования подобия в учебном пособии Бевза Г.П., «Геометрическое преобразование, отображающее фигуру на подобную ей фигуру», автор опирается на определение подобных фигур. Совершенно разные свойства преобразования подобия выделяет каждый автор, только два свойства общее для всех «Подобие сохраняет величину угла и отрезок переводит в отрезок».

В учебнике Александрова А.Д. дополнительно приводятся:

10 Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны

20 В результате подобия с коэффициентом k площадь многоугольной фигуры умножается на k2

В учебном пособии Погорелова свойства рассмотрены в виде утверждения: «Преобразование подобия сохраняет простое отношение трёх точек; переводит прямые в прямые; полупрямые в полупрямые».

Гомотетия и её свойства.

При введении понятия гомотетии и её свойства так же существуют различия.

Гомотетия в учебнике Александрова А.Д. определяется с использованием вектора: «гомотетия с центром О и коэффициентом k (отличным от нуля) - это преобразование, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка Xґ, что =k».

Понятие гомотетии вводиться конструктивно в учебнике Погорелова: «Пусть F-данная фигура и O-фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нём отрезок OXґ, равный , где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в Xґ, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и Fґ называются гомотетичными».

Аналогично вводиться гомотетия в учебнике Бевза Г.П.

Такие общие свойства гомотетии как:

10 Гомотетия сохраняет величину угла.

20 Гомотетия отрезок переводит в отрезок

рассматриваются в учебных пособиях Александрова А.Д., Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., но есть и дополнительные, например автор Александров А.Д., дополняет рассмотренные выше свойства следующими:

30 Основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k.

40 Гомотетия треугольник переводит в треугольник, стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Автор Бевз Г.П. дополняет следующие свойства, которые явно не выделяются в учебнике:

30 При гомотетии прямая переходит в прямую, луч в луч.

40 Гомотетия изменяет размер фигуры, не изменяет её формы.

В учебнике Погорелова А.В. свойства гомотетии не рассматриваются, только есть небольшое замечание о том, что гомотетия и подобие обладают аналогичными свойствами.

Определение подобных фигур, свойства подобных фигур.

Определение подобных фигур в учебнике Погорелова А.В. не выделено курсивом и сливается с текстом, таким образом, не привлекает внимания учащихся. «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Далее вводиться обозначение подобных фигур.

Практически аналогично, очень наглядно и подробно вводиться определение подобных фигур в учебном пособии Александрова А.Д. «Фигура Fґ называется подобной фигуре F с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в Fґ». Далее делается вывод, что подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры, что очень важно для учащихся при понимании темы.

С помощью композиции гомотетии и движения вводиться определение подобия фигур в учебнике Бевза Г.П.. «Две фигуры называются подобными, если с помощью композиции гомотетии и движения одну из них можно отобразить на другую».

Следует заметить, что в учебном пособии Атанасяна Л.С. подобные фигуры изучаются после темы подобные треугольники. По нашей теме есть небольшое упоминание о том, что «в геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными» и приводиться пару примеров.

Аналогично вводиться определение подобных фигур в учебнике Шарыгина И.Ф.. Автор делает ссылки на начало главы «Подобие» где приводиться много примеров подобных фигур.

Только в учебнике Погорелова А.В. встречаются свойства подобных фигур:

«Если фигура F1 подобна фигуре F2 , а фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигуры F1 и F3 подобны».

Во всех рассмотренных учебниках определение подобных фигур предшествует изучению подобных треугольников.

Определение подобных треугольников.

Что касается подобия треугольников, то в учебнике Атанасяна Л.С. они определяются с опорой на понятие сходственных сторон треугольников и равенство углов: «Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого».

В учебнике Шарыгина И.Ф. отличие состоит в том, что здесь используются понятие соответствующих, а не сходственных сторон, а так же вводятся коэффициент подобия треугольников: «Два треугольника называются подобными, если у них равны углы, а соответствующие стороны пропорциональны».

Признаки подобия треугольников.

Признаки подобия треугольников рассматриваются во всех учебных пособиях и формулируются следующим образом:

Первый признак: «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Второй признак: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны».

Третий признак: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны».

Каждый автор доказывает признаки по определённому плану. Например, в учебнике Погорелова А.В. можно выделить следующие этапы:

Треугольник A1B1C преобразуется с помощью подобия с коэффициентом k, например гомотетии () и получаем треугольник A2B2C2.

Доказываем равенство треугольников ABC и ABC2.

Доказываем подобие треугольников A1B1C1 и ABC

После каждого признака автор предлагает решение задачи на использование изученного признака.

Атанасян Л.С. доказывает признаки подобия иначе:

Рассматривается треугольник ABC2

Доказываем равенство треугольников ABC и ABC2

Доказываем, что треугольник ABC2 подобен треугольнику A1B1C1 (по определению).

В учебнике Александрова А.Д. признаки доказываются различно, первый признак доказывается аналогично плану учебника Погорелова А.В.. Для доказательства второго признака используется теорема синусов. При доказательстве третьего признака используется обобщённая теорема Пифагора.

Следующий план доказательства можно проследить в учебном пособии Бевза Г.П.:

Гомотетия с коэффициентом k переводит треугольник A1B1C1 в треугольник A2B2C2, равный треугольнику ABC

Доказываем, что треугольники ABC A2B2C2 равны

Доказываем, что треугольник A2B2C2 гомотетичен треугольнику A1B1C1.

Автор Шарыгин И.Ф. в своём учебном пособии перед введением признаков подобия рассматривает теорему о подобных треугольниках: «Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники».

После доказательства теоремы рассматриваются признаки подобия. Каждый признак доказывается, с использованием признаков равенства треугольников. Только в учебнике данного автора вводятся признаки подобия прямоугольных треугольников.

Метод подобия.

Метод подобия в школе чаще всего явно не выделяется, некоторые авторы учебников очень подробно останавливаются на этом методе.

В учебнике Александрова рассматривается применение подобия для решения задач и «доказательства теорем». В частности решаются задачи на построение четвёртого пропорционального отрезка, квадрата, расположенного в прямоугольном треугольнике, так, что три его вершины лежат на катетах, а четвёртая на гипотенузе; доказывается теорема о точке пересечения медиан треугольника.

В учебнике Атанасяна Л.С. рассматривается теорема о средней линии треугольника; точка пересечения медиан треугольника; о пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике; практическое приложение подобия треугольников (задачи на построение, измерительные работы на местности).

Система задач по данной теме.

По теме «Подобные треугольники» в учебниках Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., Погорелова А.В., Шарыгина И.Ф., Александрова А.Д. рассматривается большое количество задач на построение, на доказательство, на вычисление отношений и на решение. Задачи в процессе обучения выполняют дидактические, познавательные, развивающие и воспитательные функции. Относительно перечисленных функций будет проводиться сравнительный анализ систем упражнений.

В каждом учебнике есть особенности, которые отличают их друг от друга. Например, в учебнике Бевза Г.П. большое внимание уделяется заданиям на построение фигур, гомотетичных данным фигурам. Только в этом учебнике предлагаются практические задания такие, как: «Вырежьте из бумаги две подобные фигуры в форме буквы «Г» и разместите их на столе так, чтобы они оказались гомотетичными относительно некоторого центра. Сколькими способами можно это сделать? Изменяются ли при этом коэффициенты гомотетии? Разместите эти фигуры так, чтобы они были гомотетичными».

Большинство задач дидактического характера рассматриваются в учебном пособии Шарыгина И.Ф., есть несколько задач несущие развивающую функцию, «Какие треугольники можно разрезать на два подобных между собой треугольника» и так же задачи познавательного характера: «Докажите, что диагонали трапеции вместе с основаниями образуют два подобных треугольника». Мало задач по готовым чертежам. Упражнения расположены в разноброс не соответствуя последовательности изложения теоретического материала, что благотворно влияет на умственную деятельность учащихся.

В учебнике Атанасяна Л.С. предлагаются задачи с решениями. Большое внимание уделяется задачам несущие дидактическую функцию. Очень интересные познавательные задачи: «Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам». Хорошо подобраны развивающие задачи: «План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5см2. Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1:100000». В учебнике данного автора перед группой задач указан номер теоретического пункта, что даёт подсказку учащимся.

Задачи в учебнике Погорелова А.В. предлагаются от более простой к сложной. Много задач по готовым чертежам. Большинство упражнений познавательного характера способствующие получению новых фактов, которые используются при решении других задач, например: «Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах противолежащих основаниям». Задач развивающей функции практически нет. Аналогично учебнику Атанасяна Л.С. задачи располагаются относительно пунктам изученного теоретического материала.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6