Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе

истема задач учебника Александрова А.Д. включает в себя в основном задачи несущие дидактическую функцию, а так же задачи познавательные: «На одной стороне угла отложили равные отрезки, через их концы провели параллельные прямые, пересекающие стороны угла. Докажите, что на другой стороне угла получаются равные отрезки». При доказательстве этого утверждения учащие знакомятся с теоремой Фалеса. Большое разнообразие задач с использованием готового рисунка. Автор предлагает интересные развивающие задачи: «На каком удалении от вас находиться человек, идущий перпендикулярно линии наблюдения? В одной из книг даётся такой ответ: «Закройте левый глаз, вытяните руку вперёд и отогните большой палец. Уловив момент, когда палец прикроет фигуру идущего вдали человека, закройте правый глаз, а левый откройте и сосчитайте, сколько шагов сделает человек до того момента, когда палец вновь прикроет фигуру. Увеличив полученное число в 10 раз, вы узнаете расстояние от него в шагах» На чём основан такой приём?

Во всех рассмотренных учебниках тема «Подобные треугольники» вводиться различно, какой-то материал лучше, какой-то хуже, нет идеальных учебных пособий. Наиболее доступный, понятный, содержащий большое количество рисунков и упражнений различного характера является учебник Атанасяна Л.С.. Дальнейшая работа основывается на его материале.

§2. Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники » по учебнику Атанасяна Л.С.

Тема подобные треугольники в учебнике Атанасяна Л.С. вводиться в 8 классе и включает в себя четыре параграфа, каждый из которых делиться на пункты.

§1. Определение подобных треугольников.

§2. Признаки подобия треугольников.

§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

§4. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В первом параграфе вводятся такие новые понятия как «пропорциональные отрезки», «сходственные стороны», «подобные треугольники», «коэффициент подобия».

Понятие пропорциональных отрезков вводиться описательно с использованием ранее изученного факта (об отношении двух отрезков), и рассматривается конкретный пример на применение нового определения. Далее оговаривается, что понятие пропорциональности может вводиться и для большого числа отрезков.

Прежде чем ввести определение подобных треугольников предлагается разобраться с подобием в реальной и повседневной жизни, и с подобием фигур в геометрии вообще. После этого используя рисунок двух треугольников и равенство углов описательно вводиться определение сходственных сторон. После словесной формулировки предлагается другая запись с использованием буквенной символики, таким образом, подобие треугольников даётся не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональности сходственных сторон. Пусть треугольники АВС и А1В1С1 подобны тогда (1); (2) из последнего отношения вытекает понятие коэффициента подобия.

Рассмотрев все основные понятия анализируемого параграфа, переходят к изучению следующей теоремы: «Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия», доказательство основано на применение теоремы об отношении площадей треугольника, имеющих по равному углу и определение подобных треугольников.

Во втором параграфе рассматриваются только признаки подобия треугольников с доказательством и отсутствуют новые понятия.

Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств определения подобных треугольников (1) или (2). Для доказательства этого факта рассматриваются три признака подобия треугольников. Первый признак доказывается, опираясь на теорему о сумме углов треугольника и на ранее изученную теорему об отношении площадей треугольников имеющих по одному равному углу. Второй и третий признак доказывается по общей схеме:

Рассматривается треугольник АВС2;

Доказывается, что треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны (по первому признаку);

Доказывается равенство треугольников АВС и АВС2.

В изложенном материале третьего параграфа рассматриваются новые понятия: «средняя линия треугольника», «среднее пропорциональное», «метод подобия», каждое из определений вводиться описательно.

Именно в этом параграфе доказывается теорема о средней линии треугольника и на основании этой теоремы решается очень важная задача геометрии: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины».

Для доказательства следующих утверждений

10 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит гипотенуза этой высоты;

20 Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла; решается задача: «Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику». Решение опирается на рассмотрение различных треугольников и доказательства их подобия.

Для формирования практической значимости подобия треугольников рассматривается метод подобия, после описания, которого предлагаются задачи с решениями.

Уже в последнем пункте вводиться понятие подобия произвольных фигур и коэффициент подобия фигур. Эти понятия вводятся через сопоставление двух точек M, N одной фигуры F, точкам M1, N1 другой фигуры F1 и , где k-одно и тоже положительное число для всех точек. Далее делается вывод, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Здесь же предлагается способ построения подобных фигур.

В последнем параграфе анализируемой темы учащиеся знакомятся с элементами тригонометрии, необходимые для решения прямоугольных треугольников. Здесь вводятся новые понятия синуса, косинуса, тангенса. Их определения даются через отношения сторон прямоугольного треугольника друг к другу. Причём тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. При рассмотрении данных понятий вводятся их обозначение. Далее формулируется и доказывается утверждение о том, что из равенства острых углов следует равенство значений тригонометрических функций соответствующих данным углам. Сначала доказывается подобие треугольников, из которых следует пропорциональность сходственных сторон треугольников, пользуясь полученными равенствами, получаем доказываемый материал. Здесь же доказывается sin2A+cos2A=1 называемое основным тригонометрическим тождеством. При доказательстве опираются на новые понятия синуса, косинуса и на теорему Пифагора. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300 , 450 , 600 находятся через основное тригонометрическое тождество, Через теорему о катете лежащем против угла в 300, через теорему Пифагора. Полученные результаты отображены в таблице. Материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратичные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В систему упражнений включено более 50 задач. Большая часть направлена на прямое или опосредованное применение теории. Много задач познавательного характера, способствующие получению новых фактов, которые используются при решении других задач (№534, 537, 569,…), задачи с практическим содержанием (№546, 579, 580, 581, 583,…).

Изучая тему «Подобные треугольники», можно подробно остановиться на примерах из реального мира, необходимо рассказать об истории возникновения и развития подобия, подробно рассказать легенду о Фалесе, который измерил высоту пирамиды без всяких приборов по отбрасываемой ею тени. Познакомить учащихся с золотым треугольником, золотым прямоугольником, золотым сечением, которое является одним из удивительно красивых объектов, интерес к которым проявляли учёные, художники на протяжении многих веков.

§3. Методические особенности изучения темы «Подобные треугольники»

Формирование понятия пропорциональные отрезки на прямую связано с подобием треугольников, именно через это понятие прокладывается логический мостик к определению коэффициента подобия. Для полного понимания необходимо решать как можно больше задач вида №534.

При рассмотрении подобных треугольников важное условие, накладываемое на порядок записи вершин подобных треугольников, позволяющее (как и в случае равных треугольников) непосредственно из условия указать, какие именно углы равны: и какие стороны пропорциональны, это полезно так же и для контроля правильности записи пропорциональных сторон с целью предупреждения ошибок учащихся.

Для того чтобы выработать соответственный навык у учащихся, полезно решать устно задачи типа:

, AB=3см, BC=4см, AC=6см, A1B1=12см. Вычислить B1C1 и A1C1.

, , чему равны ? [].

Отношение площадей подобных треугольников необходимо не только для решения многих задач, но и для познавательной деятельности позволяющей осмыслить тот факт, что «отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия».

Особое внимание следует обратить на первый признак подобия треугольников, так как он лежит в основе доказательства двух других признаков, а, кроме того, чаще других применяется при решении задач. Общий план доказательства имеют второй и третий признак:

Рассматривается треугольник АВС2;

Доказывается, что треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны (по первому признаку);

Доказывается равенство треугольников АВС и АВС2.

Поэтому можно первый и второй признак доказать самому учителю, а третий самостоятельно или первый и третий признак, а второй самостоятельно, при этом можно составить с учащимися приведённый выше план.

Признаки можно обозначить традиционно номерами, а можно проводить ссылки по содержанию: по равенству двух углов, по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, по пропорциональности трёх сторон.

В результате изучения темы учащиеся должны знать определение подобных треугольников, формулировки признаков подобия треугольников, уметь воспроизводить доказательства признаков в ходе изучения текущего материала, применять признаки подобия при решении задач.

Чтобы показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решении разнообразных задач, измерительных работ на местности изучается параграф о применении подобия, полезно повторить с учащимися второй признак подобия треугольников и познакомить с идеей доказательства теоремы о средней линии треугольника, и решить по готовым чертежам задачи устного характера.

После рассмотреть определение средней линии треугольника и сформулировать теорему о средней линии треугольника, а учащимся можно предложить провести доказательство самостоятельно.

Изучение пункта пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно организовать: по готовым чертежам доказать подобие предложенных различных треугольников, а затем как следствие из доказанного обосновать утверждение 10 и 20. Перед тем как приступить к решению задач на построение методом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение: Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте: медиану АМ, биссектрису AD и высоту AH треугольника АВС;

прямую BN, параллельную медиане AM.

(Не обязательно чтобы учащиеся выполняли все построения циркулем и линейкой, достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполнения операций). На последнем из уроков , необходимо рассмотреть материал раздела «Измерительные работы на местности», в конце урока желательно провести небольшую беседу (10 минут) о подобии произвольных фигур.

Тематическое планирование

№ пункта	Название параграфа или пункта	Количество часов
	Глава 1. Подобные фигуры	19
	§1. Определение подобных треугольников.	2
56	Пропорциональные отрезки	1
57 58	Определение подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников	1
	§2. Признаки подобия треугольников	5
59	Первый признак подобия треугольников	2
60	Второй признак подобия треугольников	1
61	Третий признак подобия треугольников	1
	Решение задач по теме	1
	Контрольная работа	1
	§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач	7
62	Средняя линия треугольника	2
63	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике	2
64	Практические приложения подобия треугольников (решение задач на построение)	1
64 65	Практические приложения подобия треугольников (измерительные работы на местности) Подобие произвольных фигур	2
	§4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника	3
66	Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника	1
67	Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450, 600.	1
	Решение задач по теме	1
	Контрольная работа	1

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6