Рис. 2
Учащихся также нужно познакомить с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации.
№ 128. [15] Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения:
а) 10 москвичей из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья;
б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их;
в) из каждых 100 новорожденных 52 - мальчики;
г) из каждых 100 жителей Брянска 25 имеют домашних животных.
Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознанно владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент, а потом несколько процентов этой величины.
Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное усвоение следует отнести на более поздние сроки.
Для успешного усвоения материала можно предложить учащимся формулировки некоторых задач в развернутом виде, т.е. к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько вопросов. Так привлекается их внимание к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.
№ 122. [15] В кассе профкома было 900 руб. На оплату проездных билетов израсходовали 80% этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них.
№ 124. [15] Средняя зарплата в России в середине 1993 г. составляла 120000 р. К концу года она увеличилась на 50%.
1) На сколько рублей увеличилась средняя зарплата?
2) Какой стала зарплата к концу года?
Специальная серия задач посвящена трудному вопросу об увеличении на 200%, 300% и т.д. Так учащиеся постепенно подходят к пониманию того, что, например, увеличение на 100% - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д.
№ 139. [15] В первом квартале 1995 г. квартплата в Москве в домах с лифтом была на 100% выше квартплаты в домах без лифта. Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?
К задаче приведен рисунок для того, чтобы ход решения был более понятным (см. рис. 3).
2
Рис. 3
В рамках этой темы учащиеся уже знакомятся с решением задачи вида К1, задачи на увеличение (уменьшение) величины на несколько процентов предлагаются в качестве производных задачи К1.
Второй этап в изучении процентов связывается с десятичными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними нужно снова возвратится к понятию процента. Здесь предлагается два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» школьники учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Прежде чем приступить к решению задач, нужно рассмотреть с учащимися правило и упражнения на перевод процентов в десятичную дробь.
«Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что то же самое, умножить на 0,01»
№ 596.[15] Выразить десятичной дробью:
а) 2,5%, 18,3%, 1,6%, 54,5%;
б) 0,1%, 0,5%, 0,3%, 0,7%;
в) 120%, 137%, 240%, 350%.
Предлагается рассмотреть разные способы решения той или иной задачи.
Пример 2. [15] Мужская рубашка стоила 8200 р. Сколько она стала стоить, когда ее цена увеличилась на 35%?
Так как 35% - это 0,35, то надо найти 0,35 от 8200 р.:
(р.) (на столько повысилась цена).
Теперь найдем новую цену:
8200+2870=11070 (р.).
Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая - на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% - это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.
Имеем: (р.).
Также учащиеся знакомятся с задачами типа К2. Но авторы рассматривают эти задачи в рамках упражнений группы Б (более сложных).
№ 606. [15] В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?
В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определении того, сколько процентов одна величина составляет от другой.
619. В избирательном округе 2500 избирателей. В голосовании приняли участие 1300 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании?
Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем - в процентах.
Не следует торопиться приступать к решению новых задач. В учебнике предлагается система упражнений, в которых предлагается выразить дробь (обыкновенную или десятичную) в процентах.
№ 615. [15] Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:
а) бензином заполнили бака;
б) учащихся школы едут в школу на автобусе;
в) масса сушеной вишни составляет массы свежей вишни;
г) магазин продал привезенного сахара.
Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычислений. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины. Для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равно 19% от какой-либо величины, то находят 20% этой величины, т.е. ее пятую часть.
№ 595. [15] Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 11890 руб.?
№ 629. [15] Часть фигуры заштрихована (см. рис 4.). Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных.
Рис. 4
Третий этап в изучении процентов отнесен к 7классу. В силу возрастных возможностей семиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а изучались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учениками. Учащиеся уже знакомы со всеми основными видами задач, теперь они осваивают другие способы их решения, которые были им неизвестны.
В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из шестого класса и продвинуться в решении задач. Теперь есть возможность рассмотреть более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как наиболее трудный для усвоения.
№ 99. [18] В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор - по 4%, магний - 1,6%, железо - 0,07%, цинк - 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 25 г?
№ 88. [18] В конце 1996 г. рабочим была выплачена премия в 250% ежемесячной зарплаты. Какую премию получил рабочий, зарплата которого была 550 тыс. р.?
Предлагаемые в системе упражнений задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.
Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному ее проценту.
№ 107. [18] После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля. Сколько стоила книга до повышения цены?
Решение. Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.
Рассуждать можно по-разному:
1) 1% - это 52: 130=0,4(руб.), а 100% - это 0,4* 100=40(руб.);
2) 10% - 52:13=4(руб.), 100% - это 4*10=40(руб.);
3) 130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.).
Следует отметить еще один методический подход, использованный в изучении процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматривается восемь, если можно так выразиться, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, т.к. являются трудными. Приведено более простое решение такого класса задач. Следует уделить им внимание хотя бы на кружке.
Задача. [18] Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги? Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решений с помощью рисунков (см. рис. 5). Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.
Решение:
Цена альбома - 100%. Изобразим ее каким-либо отрезком
Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.
Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.
Рис. 5
При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.
№ 191.[18] В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл? («Деление в данном отношении»)
№ 252. [18] За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность»)
№ 269. [18] Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций»)
По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новый прием решения расчетных задач на проценты - с помощью составления уравнения.
№ 501. [18] Вкладчик открыл в банке счет. Через год на его счету было 360000 руб., что составило 120% от суммы, которую он внес первоначально. Сколько рублей внес вкладчик при открытии счета?
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
