5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций. Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)=0, F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) - четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная - равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

1. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

2. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) - четная функция, достаточно найти решения для x?0 (или x?0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 - числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( _ x2, _ x1).

3. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) - нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x?0 (x?0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)?0 (F(x)?0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Если функция F(x) - периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода [41].

Выводы по параграфу: анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Выводы по главе: введение элективных курсов предоставит учащимся возможность, комбинируя их с базовыми и профильными предметами, выстроить индивидуальный маршрут получения полного среднего образования. Это позволит школьникам к окончанию учебного заведения выйти с разным уровнем подготовки как минимальным, так и максимально возможным.

В соответствии с изложенными целями, задачами, типами и требованиями к элективным курсам будет разработан элективный курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

Глава II. Разработка элективного курса

«Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

§1. Методические основы разработки элективного курса

Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Данный элективный курс связан с основным курсом математики. Развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся. В данном элективном курсе рассматривается метод решения уравнений и неравенств, основанный на применении свойств функций (монотонность, ограниченность, четность и др.). Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.

Цели курса:

· познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций, показать применение производной при решении уравнений или неравенств;

· обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений;

· углубление и расширение знаний учащихся;

· привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;

· формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

· выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;

· подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.

Требования к подготовке учащихся. В результате изучения данного элективного курса ученик должен

знать:

· основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;

· о применении производной при решении уравнений и неравенств;

· уметь:

· объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;

· применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство;

· использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:

· поддержание изучения базового курса алгебры;

· социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;

· обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Основная форма изложения теоретического материала - лекция. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих школьников.

Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. Численность учебной группы может быть любой.

Ожидаемый результат изучения курса:

· знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;

· умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

· приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений и неравенств;

· практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. Уровень достижений учащихся определяется в результате:

· наблюдения активности на практикумах;

· беседы с учащимися;

· анализа творческих, исследовательских работ;

· проверки домашнего задания;

· выполнения письменных работ;

· самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными.

Итоговая аттестация проводится в виде зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.

Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация элективного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития.

Содержание программы. Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (2 часа в неделю, всего 11 часов). Это обусловлено тем, что во втором полугодии уже изучены основные функции и их свойства.

1. Функции и их основные свойства.(1час)

Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций.

2. Использование области определения функций.(1час)

Решение уравнений и неравенств с использованием области определения входящих в них функций

3. Использование монотонности функций.(2 часа)

Теоремы о корне. Нахождение промежутков монотонности с помощью производной. Решение уравнений и неравенств. Уравнения вида .