4) ;
5) .
4. Подведение итогов занятия.
Учащимся, решившим верно все задания, за урок ставится 3 балла.
5. Постановка домашнего задания.
1) Повторить теоретический материал, связанный с понятием области изменения функции.
2) Решить уравнения:
;
.
6. Проверочная работа.
Вариант №1
1) ;
2) ;
3) .
Вариант №2
Критерии оценивания:
«5» - верно выполнены все задания;
«4» - верно выполнены любые два задания;
«3» - верно выполнено любое одно задание.
Занятие №5 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Цели:
а) изучить теоретический материал по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»;
б) познакомить с основными способами определения множества значений функции.
Ход занятия:
1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Если у большинства учащихся есть затруднения в решении, то задание разбирается на доске. Если задание вызвало затруднение у небольшой группы учащихся, то к каждому из них «приставляется» ученик, выполнивший задание, с целью объяснить решение.
2. Лекция по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Утверждение 1. Пусть дано уравнение , причем функции как правило разнородные. Если множества значений этих функций имеют общую точку (или небольшое конечное число общих точек) ; , то уравнение равносильно системе .
В системе можно решить только одно уравнение, а второе проверить подстановкой получившихся корней.
Утверждение 2. Если области изменения функций, входящих в уравнение (неравенство), не имеют общих точек, то уравнение (неравенство) решений не имеет.
Существует несколько способов определения множества значений функций. Рассмотрим их на примерах.
Пример 1. Найти область изменения функции .
Для решения задачи построим схему графика с помощью производной:
1) область определения функции y промежуток ;
2) с помощью производной найдем экстремумы. В точке функция принимает свое максимальное значение;
3) найдем значения функции в точке максимума и на концах отрезка области определения: ; ; .
4) таким образом, получаем .
Пример 2. Найти область изменения функции .
Преобразуем функцию к виду .
Область изменения этой функции находится непосредственно: .
Для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций удобно пользоваться следующим фактом.
Утверждение 3. Функция вида изменяется на отрезке
Пример 3. Найти область изменения функции .
Введем замену и рассмотрим функцию , . Ее область изменения с помощью производной найти гораздо проще. .
Рассмотрим на примере, как при решении уравнений знание области изменения функций, в него входящих, упрощает поиски корней.
Пример 3. Решить уравнение
Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, . Найдем их множество значений . Воспользуемся утверждением 1: так как множества значений имеет общую точку 2, от уравнения можно перейти к системе . Решением системы, а, значит, и исходного уравнения является .
Утверждение 4. Пусть дано неравенство . Если множества значений этих функций имеют общую точку; , то неравенство равносильно системе .
Пример 4. Решить неравенство .
ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x: (); (); (). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке , то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства .
3. Постановка домашнего задания.
1) Выучить теоретический материал.
2) Найти множество значений функций:
а); б) .
3) Решить уравнение .
Занятие №6 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Цель: закрепить знания по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
1. Проверка домашнего задания. До начала занятия один из учеников записывает домашнее задание на доске учитель и другие ученики проверяют решение.
2. Решение задач. На доске написан список задач. Учащиеся по одному решают у доски. Учитель напоминает, что данные уравнения и неравенства решаются с использованием множества значений функций, в них входящих.
3) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
3. Подведение итогов занятия.
Учитель выставляет баллы за занятие: 1 балл за решение домашнего задания, по одному баллу за решение задач у доски
4. Постановка домашнего задания
Решить уравнения и неравенство:
4) .
Занятие №7 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».
Цели: познакомить учащихся с приемом решения уравнений и неравенств, состоящих из неотрицательных функций.
1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Уравнение, вызвавшее трудности, разбирается учеником, выполнившим его.
2. Изучение нового материала.
Утверждение 1. Пусть имеется уравнение . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то уравнение равносильно системе .
_Назовите функции, которые принимают неотрицательные значения на всей области определения ().
Пример1. Решить уравнение .
Преобразуем уравнение . Наше уравнение будет равносильно системе , которая не имеет решений. Значит и исходное уравнение решений не имеет.
Аналогичное утверждение можно сформулировать и для неравенств.
Утверждение 2. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то неравенство равносильно системе .
Пример 2. Решить неравенство .
Так как для любого x справедливы неравенства , то неравенство равносильно системе , решением которой является . Значит, неравенство имеет единственное решение .
Утверждение 3. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то решениями неравенства являются все x из ОДЗ, за исключением тех x, которые являются решениями системы .
Пример 3. Решить неравенство
ОДЗ неравенства . Для нахождения решения неравенства нужно исключит из его ОДЗ все решения системы . Решениями неравенства являются все x из множества .
3. Решение задач. На доске написаны два варианта заданий. Учащиеся в течение 13-15 минут решают каждый свой вариант, затем в паре обмениваются тетрадями и проверяют решение соседа по парте и ставят баллы (по одному за каждое верное решение уравнения или неравенства). Учитель выписывает ответы на доске.
Вариант 1.
Вариант 2.
4. Подведение итогов занятия. Учитель выставляет баллы полученные учениками. 1 балл ставится ученику, объяснявшему домашнее задание.
5. Постановка домашнего задания
Решите уравнения и неравенство:
Занятие №8 Тема: «Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций».
Цель: знакомство с новым приемом решения уравнений и неравенств - использование свойств четности, нечетности и периодичности функций.
1. Проверка домашнего задания. До начала занятия двое учащихся выписывают решение на доске. Остальные на занятии проверяют правильность решения.
2. Актуализация знаний.
_Какие функции называются четными, какие нечетными?
_Приведите примеры.
_Исследовать функции на четность: ;.
_Сформулируйте определение периодической функции.
_Какие из перечисленных функций являются периодическими, укажите их период: , , .
Изучение нового материала.
Утверждение 1. Пусть дана функция с областью существования X. Пусть дано число б ?0. Тогда функция имеет область существования X1, которая характеризуется свойством: для любого число , а для любого число . При этом, если функция имеет период T, то функция имеет период .
Утверждение 2. Если функция F(x) - периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение.
Утверждение 3. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
Утверждение 4. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) - четная функция, достаточно найти решения для x?0 (или x?0). Если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 - числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( _ x2, _ x1).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9