Испанский живописец Сальвадор Дали использовал этот символ в своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники. Если стороны правильного пятиугольника продолжить до взаимного пересечения, то получится правильный звездчатый пятиугольник (рис. 2). Эта фигура, называемая также пентаграммой, была эмблемой школы Пифагора. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов. Вот что мы находим, читая «Фауста» Гете:

Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Не пентаграмма ль этому виной?

Фауст: Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?

Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей,-- и я свободно мог вскочить.

Более поздняя философская школа -- Александрийская, интересна тем, что дала миру знаменитого ученого Евклида (IV до н.э.). К сожалению, жизнь его мало известна. В одном из своих сочинений математик Папп, современник Евклида, изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм. Насколько серьезно и строго он относился к изучению математики, можно судить по следующему известному рассказу: царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид на это ответил: «В геометрии нет царского пути».

Славу Евклиду принесло его научное сочинение из 13 книг под общим названием «Начала», в котором впервые было представлено стройное аксиоматическое построение геометрии, т. е. сначала вводились основные неопределяемые понятия и постулировались их свойства (аксиомы), а все остальные утверждения (теоремы, следствия) выводились путем логических рассуждений из аксиом и ранее доказанных утверждений. На протяжении более двух тысячелетий «Начала» Евклида остаются основой изучения систематического курса геометрии.

В последние столетия возникли и развивались новые направления геометрических исследований: аналитическая геометрия, геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология и др. Появились новые методы, в том числе координатный и векторный, позволяющие переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Геометрические методы широко используются в других науках: теории относительности, квантовой механике, кристаллографии и т. д.

Таким образом, мы вплотную подошли к определению многогранника. Но прежде, чем его дать, сначала давайте поговорим о геометрическом теле.

Геометрическое тело.

Точка М называется граничной точкой данной фигуры F, если среди сколь угодно близких к ней точек (включая ее саму) есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Так, например, границей шара является сфера.

Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется внутренней точкой фигуры. Каждая внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что все достаточно близкие к ней точки пространства также принадлежат фигуре. Так, любая точка шара, не лежащая на сфере -- его границе, является внутренней точкой шара.

Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить и какую-нибудь сферу. Очевидно, что шар, тетраэдр, параллелепипед -- ограниченные фигуры, а прямая и плоскость -- неограниченные.

Фигура называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Примерами связных фигур являются тетраэдр (см. рис. а), параллелепипед (см. рис. б), октаэдр (см. рис. 68), плоскость. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей, не является связной.

Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.

Теперь перейдем е определению многогранника. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тетраэдр и параллелепипед -- примеры многогранников. На рисунке а) изображен еще один многогранник -- октаэдр. Он составлен из восьми треугольников. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники, гранями параллелепипеда -- параллелограммы. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер -- вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр -- выпуклые многогранники. На рисунке изображен невыпуклый многогранник, составленный из восьми многоугольников.

Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°. Рисунок 70 поясняет это утверждение: многогранник «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости а. Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т. е..

На этом мы закончим наше сегодняшнее занятие, жду всех вас на следующем.

< Повторное проведение аутотренинга, музыка в конце сменяется на ритмичную>

Занятие 2

<аутотренинг>

Призма.

Рассмотрим два равных многоугольника и A1A2…An и B1B2…Bn расположенных в параллельных плоскостях б и в так, что отрезки А1В1, А2В2, ..., АпВп, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис.71).

Каждый из п четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2,…, AnА1B1Bn является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике A1A2B2B1 стороны А1В1 и А2В2 параллельны по условию, а стороны А1А2 и В1В2 -- по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2...An и В1В2...Вп, расположенных в параллельных плоскостях, и п параллелограммов, называется призмой (см. рис. 71).

Многоугольники A1A2…An и B1B2…Bn называются основаниями, а параллелограммы -- боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1 А2В2, ..., АпВп называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают А1А2...AnB1B2...Bn и называют п-угольной призмой. На рисунке 72 изображены треугольная и шестиугольная призмы, а на рисунке 1б -- четырехугольная призма, т. е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае -- наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания -- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани -- равные прямоугольники. На рисунке 72 изображена правильная шестиугольная призма.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы -- сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности выражается через площадь боковой поверхности и площадь S0CH основания призмы формулой:

.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы -- прямоугольники, основания которых -- стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, S6oк=Ph. Теорема доказана.

Пирамида.

Рассмотрим многоугольник A1A2...An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треугольников (рис. 73): РА1А2,, РА2А3,, ..., РАпА1.

Многогранник, составленный из п-угольника А1А2...Ап и п треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2...An называется основанием, а треугольники -- боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,, РА2,, ..., РАп -- ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием A1A2...An и вершиной Р обозначают так: РA1A2...An -- и называют n-угольной пирамидой. На рисунке 74 изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида -- это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 73 отрезок РН -- высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды -- сумма площадей ее боковых граней. Очевидно,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9