Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА1А2...Ап (рис. 75). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим -- радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА1 -- гипотенуза треугольника ОРА1 в котором OP=h, OA1 = R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому РА1=РА2 = ... = РАп.

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА1А2...Ап равны друг другу, поэтому боковые грани -- равнобедренные треугольники.

Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A1A2...An -- правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке 75 отрезок РЕ -- одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство. Боковые грани правильной пирамиды -- равные равнобедренные треугольники, основания которых -- стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведении сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана.

Усеченная пирамида. Возьмем произвольную пирамиду РА1А2...Ап и проведем секущую плоскость в, параллельную плоскости б основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В1, В2,, .... Вп (рис. 76). Плоскость в разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются п-угольники А1А2...Ап и В1В2...Вп (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2 ,…, АпА1В1Вп (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А1В1, А2В2, ..., АпВп называются боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями А1А2...Ап и В1В2...Вп обозначают так: А1А2...АпВ1В2...Вп.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 76 отрезок СН -- высота усеченной пирамиды.

Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды -- трапеции. Рассмотрим, например, боковую грань A1A2B2B1 (рис. 76). Стороны А1А2 и В1В2 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РА1А2 пересекается с параллельными плоскостями б ив. Две другие стороны А1В1 и А2В2 этой грани не параллельны -- их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань -- трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани -- трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды -- правильные многоугольники, а боковые грани -- равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

В качестве домашнего задания докажите следующую теорему:

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему

Теперь давайте сделаем маленький перерыв.

<перерыв>

Прежде, чем приступить к решению задач, мы с вами рассмотрим творческие методы решения задач, которые предлагает квантовое обучение.

творческое мышление.

Как вы думаете, какими качествами обладает творческая личность?

Творческая личность наделена любопытством и интуицией, любит экспериментировать, играть, пускаться в приключения. И такой творческой личностью может стать каждый человек - и вы!

Оцените по десятибалльной шкале, насколько вы творческий человек. Стив Куртис, бизнесмен и эксперт по определению творческих задатков, всегда задает этот вопрос кандидатам на рабочее место. Место получает тот, кто ставит себе 10 баллов. Стив объясняет свой принцип так: « Все люди рождаются творческими личностями. Если человек верит в это, он всегда сможет найти оригинальные решения рутинных проблем как на работе, так и в личной жизни. И я хочу работать именно с такими людьми».

Люди определенного круга - художники, ученые и изобретатели - в нашем обществе считаются таинственными и загадочными лишь потому, что они «творческие личности». Однако у каждого из нас есть способности творчески мыслить и решать задачи. Для развития этих способностей необходимы три качества: пытливость ума, готовность рисковать и напористость в осуществлении своих планов. И найти в себе эти качества может любой человек.

Теперь давайте рассмотрим составляющие решения - мыслительные процессы:

· Вертикальное мышление - процесс пошагового движения к цели, похожий на подъем по лестнице - ступенька за ступенькой;

· Латеральное мышление - изучение проблемы под новым углом зрения, словно перепрыгивания с одной лестницы на другую;

· Критическое мышление - применение тщательного взвешивания или оценок, как при расчете осуществимости идеи или рентабельности производства какого-то либо вида продукции;

· Аналитическое мышление - расчленение проблемы или идеи на составные части, изучение по отдельности каждой части, ее связей с остальными составляющими и исследование возможности новых способов сочетания этих частей;

· Стратегическое мышление - разработка особой стратегии планирования и управления широкомасштабными операциями путем рассмотрения проекта со всех возможных точек зрения;

· Результативное мышление - энергичное решение задачи для получения желаемого результата;

· Творческое мышление - так называемый эффект «загорающейся лампочки», проявляющийся, когда имеющиеся факты комбинируются таким образом, что возникает новый взгляд на предмет. Это почти всегда связано с использованием латерального мышления.

Все эти мыслительные процессы протекают в разных частях головного мозга. В отвечающем за интуицию правом полушарии идут процессы латерального, результативного и творческого мышления, в то время как в «логическом» левом - вертикального, критического, стратегического и аналитического мышления. В действительности четкой границы категорий не существует, и многие процессы протекают одновременно в обеих половинах мозга. При решении проблем, как вообще в любой интеллектуальной деятельности, творческое и логическое мышление сочетаются. Те, кто действительно творчески подходит к любой другой ситуации, умело пользуются этой комбинацией. Важно помнить, что творчество не прекращается после вспышки озарения, а продолжается до конкретного воплощения идеи.

Процесс творческого решения проблем проходит следующие характерные стадии:

· Подготовка - Определяется проблема, цель и задача;

· Инкубация (вынашивание) - Факты «перевариваются» и систематизируются, идет брожение идей в уме;

· Озарение - идеи прорываются на поверхность сознания, как пузырьки в кипящей воде;

· Проверка - проверяется, действительно ли выработанная стратегия решает проблему;

· Применение - предпринимаются шаги по реализации найденного решения.

Теперь давайте подробнее познакомимся с тремя творческими подходами к поиску решений.

Результативное мышление

Проблемное мышление может иметь отрицательный результат. Вопросы вроде «Что же здесь не так?», «Кто все испортил?», «Почему это случилось со мной?» и т.п., концентрируют внимание на негативном, приводя к пустой трате энергии и творческих сил. Результативное мышление, напротив, дает только положительные результаты. Оно прямо противоположно проблемному мышлению и вместо топтания вокруг негатива ведет в нужном направлении. Если мышление результативное, то задаются вопросы типа «Как можно контролировать ситуацию?», «Что я могу сделать сейчас?», «Что поможет мне собраться с силами?», «В чем источник мотивации и вдохновения?», «Каким образом можно изменить ситуацию?» и т.п. При таком типа мышления проблемы, поглощающие энергию, становятся целями, дающими энергию.

Думайте не о проблеме, а о ее решении и настраивайтесь на успех. Другими словами, представляйте, как все будет происходить после претворения решения в жизнь. Это очень эффективный прием, который способен приводить к нахождению путей реализации решения. Кроме того, в этом случае создается определенное «напряжение» между проблемой и решением. Такое напряжение имеет естественную тенденцию к разрешению в положительную сторону.

Смена парадигм или «меняя лестницы».

Для того, чтобы научиться мыслить творчески, не обязательно больше работать - важно научиться думать по-другому. Зачастую при этом используется такое явление, как «смена парадигм». Парадигма представляет собой набор правил, которые используются для оценки информации и ее применения в жизни. У каждого человека есть свои парадигмы, основанные на личном опыте. Эти парадигмы очень полезны, однако иногда они играют роль ограничителя, не позволяющего принять появляющиеся возможности из-за того, что эти возможности не вписываются в рамки известного вам опыта. Жить с одной парадигмой - все равно, что постоянно смотреть в одно и то же окно, в котором виден один и тот же кусок неба, Конечно, можно прекрасно прожить жизнь, все время глядя в одно и то же окно. В конце концов, лучше иметь одно окно, чем не иметь его вообще. Прекрасный вид из окна может быть закрыт чем-нибудь полностью, и если его никогда не видеть, не будет причин думать о нем или чувствовать себя в чем-то ограниченным, не правда ли? При смене парадигм как бы приоткрывается новое окно, через которое можно увидеть разнообразные новые предметы или же старые - но под новым углом. А когда поймете, что окно не одно, сможете легко представить, что где-то может скрываться еще несколько окон. И в глубине сознания загорится огонек…, затем еще один, и еще, и еще…Благодаря смене парадигм вы можете выйти за рамки общепринятых схем мышления и найти при этом свежие решения. Однако рассуждать о смене парадигм проще, чем ее осуществлять. Хотя иногда это происходит в результате озарения, чаще всего для этого приходится топтаться вокруг проблемы, рассматривая ее со всех сторон. Чтобы выходить за рамки парадигм, важно помнить, что они существуют. Теперь давайте вернемся к метафоре с лестницей. Представьте, что вы карабкаетесь по лестнице, шаг за шагом приближаясь к решению. И вдруг узнаете, что лестница прислонена не к той стене! Иногда проблема кажется проблемой лишь потому, что ситуацию рассматривают под одним углом зрения. Если же посмотреть под другим углом, решение становится настолько очевидным, что проблема часто перестает существовать. Представьте, что вы стоите по середине комнаты, по разным углам которой к потолку привязаны веревки таким образом, что если взяться за одну из них, то до другой дотянуться невозможно. В комнате ничего нет, а у вас с собой лишь обычные предметы, которые носят в кармане или женской сумочке. Как решить эту задачу?

Большинство определяют задачу так: «Как мне дотянуться до второй веревки?» и пытаются найти способ, как продлить одну из веревок. Однако условия, заданные в задаче не позволяют этого сделать. Другими словами, «лестница приставлена не к той стене»! Если же сформулировать задачу иначе: «Каким образом я и веревка можем оказаться в одном месте?», то можно найти решение иного рода. Если привязать к концу веревки небольшой предмет и раскачать его, как маятник, то можно будет дотянуться до него, держа в руке вторую веревку. Вы заметили, как произошла смена? В следующий раз, когда перед вами встанет проблема, не забудьте посмотреть на нее со всех точек зрения и при необходимости заново сформулируйте условия задачи. Возможно для решения всего лишь понадобится изменить угол зрения.

Мозговой штурм.

Мозговой штурм - способ индивидуального и коллективного решения проблем, при котором производится запись спонтанно возникающих идей без их обсуждения. Этот метод основывается на предположении, что действительно хорошая идея появляется тогда, когда их много и есть из чего выбрать. Ситуация при этом аналогична возникающей у фотографа: для получения нескольких хороших фотографий часто приходится отснять целую пленку, на которой множество кадров обязательно окажутся плохими. Но когда делаются снимки, нельзя заранее определить, какие будут хорошими, а какие - нет. Вот почему фотограф вынужден делать много снимков.

Теперь, когда мы знаем три метода творческого мышления, будем решать задачи посредством применения этих методов. В частности, сегодня мы займемся решением задач на призму и пирамиду с использованием результативного мышления.

<Решение задач>

<Завершающий аутотренинг>

Тест для определения модальности мышления.

Люди со зрительной модальностью

· аккуратны и дисциплинированны;

· быстро говорят;

· умеют организовывать работу и составлять долгосрочные планы;

· наблюдательны (к окружающей обстановке);

· заботятся о своем внешнем виде;

· грамотно пишут, способны буквально мысленно «увидеть» слово;

· лучше помнят то, что увидели, чем то, что услышали;

· имеют проблемы с запоминанием устных указаний, пока не запишут их, и часто просят повторить;

· много и быстро читают;

· предпочитают читать сами, а не чтобы читали им;

· стремятся составить общее представление и понять конечные цели и часто проявляют осторожность, пока нет полной ясности с проблемой или проектом;

· машинально чертят или рисуют во время телефонного разговора;

· часто отвечают на вопросы просто «да» или «нет»;

· с большим удовольствием предложат вам демонстрацию, чем доклад;

· изобразительное искусство любят больше, чем музыку;

· часто знают, что сказать, но с трудом подбирают нужные слова;

· иногда отвлекаются в ситуациях, требующих концентрации внимания;

Люди со слуховой модальностью

· работая, разговаривают сами с собой;

· легко отвлекаются на шумы;

· при чтении шевелят губами и произносят слова;

· обожают читать вслух и слушать;

· испытывают больше проблем при письме, чем при устном изложении;

· могут воспроизвести тембр голоса и высоту тона;

· отличаются ритмичностью речи;

· часто являются искусными ораторами;

· музыку любят больше, чем изобразительное искусство;

· обучаются, слушая, и лучше запоминают обсуждаемое, чем увиденное;

· любят дискуссии и склонны к многословным объяснениям;

· испытывают проблемы там, где требуется визуализация, например, при составлении цельной картины из фрагментов;

· грамотнее произносят слова, чем пишут;

· анекдоты предпочитают комиксам;

Люди с кинестетической модальностью

· медленно говорят;

· реагируют на физические поощрения;

· привлекают внимание прикосновением;

· разговаривая, близко подходят к собеседнику;

· ориентируются по физическим признакам, много двигаются;

· отличаются ранним развитием мускулатуры;

· обучаются пробуя и действия;

· в процессе запоминания осматривают и наблюдают;

· при чтении водят по тексту пальцем;

· интенсивно жестикулируют;

· не способны долго усидеть на месте;

· не могут запомнить географические сведения, не побывав в описываемом месте;

· используют слова, означающие действие;

· любят книги с «бойким» сюжетом, часто эти читатели сопровождают действия героев движениями тела;

· могут иметь отвратительный почерк;

· хотят все «попробовать сами»;

· любят игры, в которых могут принять участие;

Тест для определения доминантности мышления.

а) натура с богатым воображением;

б) исследовательская натура;

в) реалистичный;

г) аналитичный;

а) организованный;

б) легко приспосабливающийся;

в) критичный;

г) любознательный;

а) спорщик;

б) люблю докапываться до сути;

в) творческий;

г) устанавливающий связи;

а) замкнутый в себе;

б) практичный;

в) академичный;

г) авантюрный;

а) точный;

б) гибкий;

в) систематичный;

г) изобретательный;

а) любящий поделиться;

б) аккуратный;

в) благоразумный;

г) независимый;

а) склонный к соревнованию;

б) педант;

в) коллективная натура;

г) логичный;

а) интеллектуальный;

б) чувствительный;

в) трудолюбивый;

г) рискованный;

а) читатель;

б) душа общества;

в) специалист по решению проблем;

г) специалист по планированию;

а) запоминание;

б) ассоциативное мышление;

в) мышление прорыва;

г) стремление докопаться до сути;

а) склонный к переменам;

б) любитель судить-рядить;

в) спонтанный;

г) нуждается в руководстве;

а) общительный;

б) ищущий;

в) осторожный;

г) склонный к рассуждениям;

а) сомневающийся;

б) проверяющий все на опыте;

в) заботливый;

г) дотошный;

а) выполняет всю работу до конца;

б) ищет благоприятные возможности;

в) генератор идей;

г) интерпретирует события;

а) работать;

б) чувствовать;

в) думать;

г) экспериментировать;

карточка для записи ответов:

1. в г а б

2. а в б г

3. б а г в

4. б в а г

5. а в б г

6. б в а г

7. б г в а

8. в а б г

9. г а б в

10. а в б г

11. г б в а

12. в г а б

13. б г в а

14. а в г б

15. а в б г

Всего Всего Всего Всего

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9