В третьем пункте «График функции» вначале введены новые обозначения для числовых промежутков, которые уже рассматривались в 7 классе и задавались с помощью неравенств: отрезок, интервал, луч (замкнутый и открытый). Таким образом, с этого момента учащиеся могут пользоваться любым из обозначений. Например, множество чисел, больших 2, можно обозначать двумя способами: х > 2 и (2; +?).
После этого вводится собственно материал, связанный с графиками функций. Рассматриваемые в пункте две задачи являются центральными на данном этапе изучения материала. Первая - это нахождение с помощью графика значения функции, соответствующего заданному значению аргумента, а также значений аргумента, которым соответствует данное значение функции. Вторая - это построение графиков функций по точкам.
Пример, рассматриваемый в заключении, помогает разъяснить, что не всякое уравнение или график задают функцию.
Система упражнений.
В этом пункте содержатся упражнения на определение принадлежности точки графику, на сопоставление графиков и функциональных зависимостей, на определение точек пересечения графика с осями координат, на доказательство (например: докажите, что график функции целиком расположен в верхней полуплоскости). Большое внимание в упражнениях уделяется также построению графиков функций, заданных самыми разными формулами, по точкам, с помощью составления таблиц значений.
Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 721. а) На рисунке 3 изображён график некоторой функции. Составьте по графику таблицу значений функции на промежутке [-1; 2] с шагом . Воспроизведите этот график в тетради.
б) Функция задана графиком (рис. 4). Составьте таблицу значений функции на промежутке [-1; 5] с шагом 0,5. воспроизведите этот график в тетради.
Рис. 3 Рис. 4
При выполнении таких упражнений изменяется форма задания функции без изменения способа задания. Оно полезно для формирования умения читать и строить график функции. При выполнении этого упражнения, для предупреждения ошибок, следует обратить внимание учащихся на масштаб по оси х и по оси у. Следует также заметить, что при построении графика в тетради можно взять другой масштаб, например, увеличить график, приняв за единицу 4 клетки.
№ 724. Составьте таблицу значений функции и постройте её график:
а) , где ;
б) , где .
Квадратичная функция еще не изучалась. Поэтому, чтобы аккуратно построить график, надо взять достаточно много точек из данного промежутка, например, рассматривать значения х с шагом 0,1 (или 0,2). Для облегчения работы можно воспользоваться калькулятором. Было бы хорошо, если бы работа выполнялась на миллиметровой бумаге.
Прежде чем составить таблицу значений функции, полезно обратить внимание на то, что отрезок и симметричен, поэтому составление таблицы может быть сокращено. Если сами учащиеся не заметят этой особенности формулы, можно навести их на эту мысль.
№ 738. На рис. 5 изображены графики функций , , и . Для каждого графика укажите соответствующую формулу.
Рис. 5
Чтобы соотнести график с соответствующей ему функцией, нужно использовать разные признаки. Так, график I целиком расположен ниже оси х. Это означает, что при всех значениях аргумента функция принимает отрицательные значения. Значит, этому графику может соответствовать одна из формул или (выражение, стоящие в правых частях, принимают отрицательные значения при всех значениях х). Чтобы выбрать из них нужную, вычислим ординату точки пересечения соответствующего формуле графика с осью у. Получим, что график функции проходит через точку (0; -1). Значит, графику I соответствует именно эта формула. Графику II соответствует формула , графику III -- формула и графику IV - формула, .
В результате изучения данного пункта школьники учатся описывать графическую ситуацию по-разному, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки. Например: «функция у = f(x) принимает значение, равное 0, при х = -1 и х = 2», «график функции у = f(x) пересекает ось х в точках с абсциссами, равными -1 и 2», «уравнение f(x) = 0 имеет корни -1 и 2». То есть, учащиеся должны понимать эквивалентность соответствующих формулировок и свободно переходить от одной из них к другой.
В следующем пункте «Свойства функций» рассмотрены такие свойства функции:
1) область определения;
2) наибольшее и наименьшее значение функции;
3) нули функции;
4) промежутки знакопостоянства;
5) промежутки возрастания и убывания функции.
Цель данного пункта - это показать наглядно с помощью графиков смысл вводимых понятий. Формализация свойств функций отнесена к старшим классам. Здесь же важно, чтобы учащиеся правильно употребляли новые термины, понимали, как указанные свойства отражаются на графике, и умели по графику отвечать на вопросы, касающиеся свойств функций.
Заметим, что усвоение свойств функций и, как следствие, выполнение заданий на установление свойств функции по ее графику, традиционно вызывает трудности у учащихся. Наиболее часто ученики путают промежутки возрастания или убывания с промежутками, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Параболу, ветви которой направлены вверх (вниз), многие считают графиком возрастающей (убывающей) функции. Для предупреждения подобных ошибок необходимо, чтобы свойства функций воспринимались учащимися осмысленно, а не формально. Этому может помочь обращение к содержательным графикам, например, к графику температуры. Учащимся стоит разъяснить, что как по графику температуры легко выяснить нужную информацию, так и график любой функции наглядно отражает все её свойства. Тот большой опыт работы с графиками реальных зависимостей, который приобрели учащиеся к данному моменту, поможет им перекинуть мостик от содержательных задач, связанных с графиками, к графикам произвольных функций.
Здесь содержаться упражнения, в которых по графику функции необходимо ответить на вопросы, касающиеся свойств функции, на сопоставление графиков и функциональных зависимостей; упражнения, в которых по известным свойствам функции необходимо задать формулу этой функции; упражнения на нахождение нулей функции (в ходе выполнения которых естественным образом повторяется материал, связанный с решением уравнений - линейных, квадратных, уравнений высших степеней, уравнений, решаемых на основе равенства нулю произведения). Кроме того, есть упражнения на построение графиков функций по известным её нулям (при решении таких упражнений повторяются графики зависимостей, изучавшихся в 7 классе).
№ 740. На рисунке 6 изображён график функции , областью определения которой является отрезок [-2; 2]. Используя график, ответьте на вопросы:
1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?
2) Укажите нули функции.
3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.
Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает. Рис. 6
№ 741. На рисунке 7 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?
Рис. 7
Учащиеся могут ошибочно подумать, что функция, график которой изображен на рис. 7 а), имеет наибольшее и наименьшее значения. В этом случае можно предложить им найти по графику какое-нибудь значение функции, большее 4 и меньшее -2. В отличие от функции на рис. 7 а), функция, график которой изображен на рис. 7 б), имеет наименьшее значение, оно равно -3.
При выполнении этого упражнения можно предложить учащимся посоревноваться: кто из них сможет указать больше свойств.
№ 743. Числа -3; 5; 0,5 являются нулями функции . Убедитесь в справедливости этого утверждения. Сформулируйте этот факт другими способами, используя слова «график», «значение функции», «уравнение».
Цель упражнения - в обучении переводу с одного языка на другой, умению выразить одно и то же утверждение разными способами. Убедиться в справедливости утверждения можно, подставив данные числа в формулу. Эквивалентные формулировки могут быть, например, такими: «график функции f(x) пересекает ось х в точках (-3; 0), (5; 0), (0,5; 0)», или «функция принимает значение, равное 0, при х, равном -3; 5; 0,5», или «числа -3; 5; 0,5 являются корнями уравнения ».
№ 746. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:
а) -3,5; 0; 4;
б) -5; -1; 2,5; 4,5.
Можно выполнять это задание парами - соседи по парте обменяются своими графиками, и каждый из них проконтролирует, правильно ли ответил на вопрос его напарник. Дополнить упражнение можно заданием: перечислить все свойства функции, которые можно выяснить по предложенному графику.
№ 752. График какой функции изображён на рисунке 8?
,
, Рис. 8
.
Если использовать нули функций, то можно только отбросить функцию . Для остальных трёх нужно найти точку пересечения их графиков с осью у.
Работа сократится, если заранее заметить, что при подстановке нуля вместо х во вторую формулу получается отрицательное число и, значит, ордината точки пересечения соответствующего графика с осью у меньше нуля, а на предложенном графике она больше нуля. Остается выбрать из двух оставшихся функций h(x) и р(х).
График функции h(x) пересекает ось у в точке (0; 14), а р(х) - в точке (0; 7). Значит, на рисунке изображен график функции h(х).
В пятом пункте «Линейная функция» дано понятие линейной функции (функция, которую можно задать формулой вида y = kx + l, где k и l - некоторые числа, называется линейной) и её графика (графиком линейной функции является прямая).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
