В учебнике 9 класса содержится одна глава, посвящённая функциям: «Квадратичная функция».

Эта глава разделена на пять пунктов, четыре из которых посвящены функциональной линии:

1. Какую функцию называют квадратичной.

2. График и свойства функции .

3. Сдвиг графика функции вдоль осей координат.

4. График функции .

5. Квадратные неравенства.

Основные цели этой главы - познакомить учащихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между реальными величинами, научить строить её график и читать по нему свойства этой функции, сформировать умение использовать данные графика для решения квадратных неравенств.

Изучение темы начинается с общего знакомства с функцией у = ах2 + bх + с. На готовом чертеже выявляются основные особенности её графика. В небольшом историческом экскурсе «раскрывается» геометрическое «происхождение» параболы и приводятся примеры использования её свойств в технике. Этот вводный фрагмент, сопровождаемый серией разнообразных заданий, делает дальнейшее изучение темы осознанным и целенаправленным.

Далее изложение материала осуществляется следующим образом: сначала рассматриваются свойства и график функции у = ах2. Затем изучается вопрос о графиках функций у = ах2 + q, у = а(х + р)2, у = а(х + р)2 + q, которые получаются с помощью сдвига вдоль осей координат «стандартной» параболы у = ах2. Наконец, доказывается теорема о том, что график любой функции вида у = ах2 + bх + с может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах2.

Теперь учащиеся по коэффициентам квадратного трехчлена ах2 + bх + с могут представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты её вершины.

В системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера. Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств, используемый при этом прием основан на использовании графиков.

Примерное распределение учебного материала

(Всего на тему отводится 20 ч)

Изучение первого пункта «Какую функцию называют квадратичной» преследует две цели:

1) создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как с геометрической фигурой;

2) повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.

Этот пункт очень важен для осознанного изучения дальнейшего материала. При работе с теоретической частью и выполнении заданий учащиеся должны будут проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Вначале приводится определение квадратичной функции (квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где a, b и c - некоторые числа, причём a?0), которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики. Авторы делают замечание, что данная функция необязательно должна состоять из трёх слагаемых, главное, чтобы было слагаемое, содержащее квадрат независимой переменной.

Затем отмечается, что график любой квадратичной функции - это парабола и приведены различные виды парабол (из жизни).

После этого рассматривается построение графика функции . Здесь же вводится понятие области значений функции.

При этом сначала рассуждения проводятся с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Таким образом, формирование таких понятий, как наименьшее (или наибольшее) значение квадратичной функции, неограниченность сверху (или снизу) происходит с опорой на наглядные представления. Авторы учебника замечают, что рассуждения, проведенные для конкретной функции у = х2 -2х - 3, носят общий характер.

Далее рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс, а в упражнениях дана серия вопросов, на которые в подобных случаях должны отвечать учащиеся.

После этого рассматривается параболоид (фигура, полученная вращением параболы вокруг оси симметрии) и приводятся примеры параболоидов (например, фары автомобиля). Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал.

Система упражнений:

Ш упражнения на восстановление навыка использования функциональной символики, а также приёмов нахождения значения у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика;

Ш упражнения на овладение одним из алгоритмов построения графика квадратичной функции (вершины, оси параболы и с помощью симметричных точек).

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 184. Найдите на рисунке 10 график функции , где . Запишите на символическом языке утверждение и проверьте, верно, ли оно:

а) Верно ли, что g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3,5) > 0;

б) укажите несколько значений х, при которых g(х) > 0, g(х) < 0.

Рис. 10

Указание. Учащиеся должны сформулировать общее утверждение: если точка графика расположена выше оси х, то g(x) > 0; если точка лежит ниже оси х, то g(x) < 0.

№ 186. Найдите нули функции или покажите, что их нет:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

Указание. Учащимся ещё неизвестно о зависимости направления ветвей параболы от знака первого коэффициента квадратного трехчлена, поэтому и ответ о расположении графика по идее должен быть неоднозначным. Таким решением можно ограничиться на данном этапе изучения темы. В то же время с сильными учениками обсуждение вопроса целесообразно продолжить. Быть может, кто-то из них, рассматривая рис. 10 и строя графики по точкам, обратит внимание на то, что при а > 0 ветви параболы направлены вверх. Нужно сказать, что это верное умозаключение, но оно нуждается в доказательстве. Однако выяснить положение параболы не сложно.

№ 187. Докажите, что:

а) числа -4 и 3 являются нулями функции ;

б) функция не имеет корней.

В каждом случае сформулируйте задачу иначе, используя слова: «уравнение» и «корень уравнения», «трёхчлен» и «корень трёхчлена», «график функции» и «точка пересечения».

Решение.

а) Можно убедиться подстановкой, что при и х = 3 значение трехчлена равно нулю, а можно решить уравнение .

б) Достаточно показать, что дискриминант трехчлена отрицателен.

Во втором пункте «График и свойства функции », как и в предыдущем, ставятся две цели: знакомство с частным случаем квадратичной функции у=ах2 и развитие представлений об общих свойствах функций.

Сначала рассматривается случай . Отдельно выделен случай и делается замечание, что с этой функцией учащиеся уже встречались (). Далее строятся два графика функций и . Затем делается замечание, что у этих парабол ветви направлены вверх, вершиной служит начало координат, а ось симметрии - ось ординат и оговаривается, что такими свойствами обладает график любой квадратичной функции при а > 0.

После чего учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены три графика функций , , и оценивается «крутизна» этих графиков. Затем рассматривается функция при а < 0 и строится график функции . Сравнивая графики функций и делается вывод о том, что график второй функции можно получить из графика первой функции симметрией относительно оси абсцисс. Далее снова в одной системе координат построены графики , , и обращается внимание, что ветви любой параболы при а < 0 направлены вниз. Затем делается вывод: графиком функции , где а ? 0, является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось ординат; при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви направлены вниз.

Теоретическая часть пункта завершается рассмотрением свойств функции у = ах2 для случая а > 0. Свойства «считываются» с графика, фактически они получаются в результате перевода геометрических фактов на «язык функций». Это хорошо видно из таблицы, помещенной на с.92 учебника [34]:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11