Для квадратичной функции при а < 0 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать свойства.
Система упражнений.
Большая часть упражнений - это задания на построение графиков функций вида . Каждое из упражнений сопровождается серией вопросов, среди которых есть задания на определение принадлежности точки графику, наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, на вычисление координат точек пересечения графика с некоторой горизонтальной прямой, на определение промежутков возрастания и убывания функции и др. Полезным с точки зрения усвоения теоретических вопросов является упражнение на соотнесение формул и графиков. Кроме того, есть упражнения на построение графиков кусочно-заданных функций, в которых участвуют функции вида . Строить графики функций, заданных на разных промежутках разными формулами, учащимся приходилось и в 7, и в 8 классе.
Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 202. Постройте график функции:
а)
б)
в)
Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания.
Указание. Учащиеся допускают меньше ошибок, если действуют следующим образом: сначала строят график первой функции на всей области определения, вычерчивая его тонкой линией, и затем обводят жирно ту часть, которая соответствует указанному промежутку. Затем точно так же тонкой линией вычерчивают график второй функции и жирно обводят нужную его часть.
№ 203. Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида , проходит через точку С (-6; -9).
а) Укажите ординаты точки графика, которая симметрична точке С.
б) Найдите коэффициент а.
в) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая - нет.
Указание. Можно схематически изобразить параболу , проходящую через точку С(-6; -9), показать точку параболы, симметричную точке С, проведя соответствующую горизонталь.
№ 205. Укажите координаты какой-либо точки графика функции , расположенной:
а) выше прямой у = 1000;
в) выше прямой у = 1200 и ниже прямой у = 1500.
Указание. Требование задачи нужно перевести на алгебраический язык. Так, если точка должна быть расположена выше прямой у = 1000, то это означает, что должно выполняться неравенство у > 1000. Далее задачу можно решить простым подбором.
№ 209. В одной системе координат постройте графики функций:
а) и ;
б) и ;
в) и ;
г) и .
Указание. Идея упражнения состоит в том, чтобы учащиеся самостоятельно обобщили знания о симметрии графиков таких функций как, например, у = 2х2 и у = -2х2, и применили их в новой ситуации. В каждом случае следует строить график первой функции и с помощью симметрии относительно оси х получать график второй функции. Можно сформулировать и записать общее утверждение: графики функций у = f(x) и у = -f(x) симметричны относительно оси х. В самом деле, при любом х из области определения функций их значения - противоположные числа. Значит, каждой точке графика функции y = f(x) соответствует симметричная ей относительно оси х точка графика , и наоборот.
№ 211. (Задача-исследование.)
1) Постройте параболу .
2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой у = -1, и отметьте точку F(0; 1).
3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояние до точки F и до прямой d.
4) Сделайте вывод из полученных результатов.
5) Докажите, что все точки параболы равноудалены от точки F и прямой d.
Указание. Нужно взять произвольную точку параболы (х; ) и составить выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки F и прямой d.
В основу этой задачи положено определение параболы как геометрического места точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки и от данной прямой, не проходящей через эту точку. Это определение эквивалентно тому, которое (в неявном виде) используется в школьном курсе: парабола - это линия, которая является графиком уравнения у = ах2.
Обязательным результатом изучения данного пункта следует считать умение формулировать утверждение о том, что представляет собой график функций у = ах2, изображать этот график схематически для а > 0 и а < 0 и строить его по точкам для конкретного значения а. Свободное владение этими опорными знаниями необходимо для усвоения дальнейшего материала. Школьники должны знать еще и о симметрии графиков функций у = ах2 относительно оси х при противоположных значениях а, и об изменении «крутизны» параболы при изменении а.
В следующем пункте «Сдвиг графика функции вдоль осей координат» рассматривается сдвиг функции . Сначала строится график функции , а затем этот график сдвигается (вверх, вниз, вправо, влево) и определяется, какую функции задаёт этот график. Затем делаются выводы:
1. Чтобы построить график функции , нужно перенести параболу вдоль оси у на q единиц вверх, если q > 0, или на единиц, если q < 0. При этом вершина параболы окажется в точке
2. Чтобы построить график функции , нужно перенести параболу вдоль оси х на р единиц влево, если р > 0, или на единиц вправо, если р<0, при этом вершина параболы окажется в точке .
Эти формулировки учащиеся запоминать не обязаны. Понимание сути вопроса лучше проверить при выполнении конкретных заданий.
После этого рассматривается несколько примеров, а затем делается вывод о том, как построить график функции (из графика функции с помощью параллельных переносов вдоль осей абсцисс и ординат в зависимости от знака чисел q и р).
Большая часть упражнений нацелена не только на отработку навыков построения графиков функций вида у = ах2 + q и у = а(х + р)2, но и на умение распознавать тип формулы, а также использовать графические соображения для исследования свойств функций. Кроме того, есть упражнения на построение графиков функций вида у = а(х + р)2 + q и у = ах2 + bх + с. Увеличивать число упражнений такого типа нецелесообразно, отработка соответствующих умений здесь не предполагается (более того, с основной массой учащихся это вряд ли возможно). Также в этом пункте содержаться задачи с параметром (в некоторых заданиях параметр присутствует неявно); задачи, предполагающие перенос приемов построения графиков с помощью сдвигов вдоль осей на функции других видов; построение графиков кусочно-заданных функций.
№ 215. Постройте график функции:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.
Указание. Полезно вначале изобразить график схематически. (В дальнейшем учащиеся будут делать это мысленно, что является очень важным умением, «организующим» деятельность по построению графика и предупреждающим ошибки.)
№ 219. Из приведенного списка функций
;
.
выберите те, которые:
а) принимают только положительные значения (укажите наименьшее значение функции);
б) принимают только отрицательные значения (укажите наибольшее значение функции).
Указание. Упражнение следует выполнять, опираясь на схематический график.
№ 233. Параболу у = х2 сдвинули на несколько единиц вдоль оси х так, что она прошла через точку М. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка М имеет координаты:
а) х = 0, у = 4;
б) , у = 4.
Сколько решений имеет задача в каждом случае?
Указание. Так как новая парабола получена в результате сдвига вдоль оси х параболы у = х2, то она может быть задана формулой вида у =(х + р)2. Подставив в эту формулу координаты точки М и решив получившееся уравнение, найдем значение р. В каждом случае задача имеет два решения. Результат полезно проиллюстрировать, построив соответствующие графики.
№ 238. В одной системе координат постройте графики функций:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , .
Указание. Предполагается, что учащиеся увидят возможность построения графиков путем сдвига исходного графика вдоль осей координат.
В результате изучения этого пункта учащиеся должны знать, с помощью каких сдвигов вдоль координатных осей из графика функции у = ах2 можно получить параболу, задаваемую уравнениями , , , уметь в конкретных случаях строить эти параболы или изображать их схематически (отметив вершину, проведя ось симметрии, показав направление ветвей).
В четвёртом пункте «График функции » завершается знакомство с квадратичной функцией.
Здесь рассматривается алгоритм построения графика функции . Утверждается, что график данной функции можно получить из графика функции с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Что доказывается с помощью представления функции в виде (на основе конкретного примера).
Далее делаются выводы о том, что график функции - это такая же парабола, что и парабола , у неё то же направление ветвей, вершиной параболы служит точка с координатами и , а осью симметрии - вертикальная прямая .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
