Нетрудно видеть, что множество уровня нечеткого отношения R на X представляет собой обычное отношение на X, связывающее все пары (х, у), для которых степень выполнения отношения R не меньше . Матрицу множества уровня можно получить, заменив в матрице нечеткого отношения R единицами все элементы, не меньшие числа , и нулями - все остальные элементы. [4]
Пример.
Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве имеет вид
Тогда матрица обычного отношения, являющегося множеством уровня 0,5 этого нечеткого отношения, выглядит так:
.
Операции над нечеткими отношениями.
Перейдем теперь к рассмотрению операций над нечеткими отношениями. Некоторые из этих операций являются аналогами соответствующих операций для обычных отношений, однако, как и в случае нечетких множеств, существуют операции, характерные лишь для нечетких отношений. Заметим, что так же, как и в случае нечетких множеств, операции объединения и пересечения нечетких отношений (и операцию произведения) можно определить различными способами. [4]
Пусть на множестве X заданы два нечетких отношения A и B, т.е. в декартовом произведении заданы два нечетких множества A и B. Нечеткие множества
называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В на множестве Х.
Для функции принадлежности получаем
Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для нечетких множеств А и В выполнено . Для функций принадлежности этих множеств неравенство выполняется при любых . В рассмотренном выше примере отношений ( ? ) и ( >> ) нечеткое отношение содержится в отношении R, т.е. должно быть для любых чисел .
Если R - нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение R, характеризующееся функцией принадлежности
,
называется дополнением в Х отношения R.
Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения. Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его дополнение R` (не лучше).
Обратное к R нечеткое отношение R-1 на множестве Х определяется следующим образом:
или с помощью функций принадлежности:
Важное значение в прикладных задачах имеет произведение или композиция нечетких отношений. В отличие от обычных отношений, произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь мы приведем некоторые из возможных определений этой операции. [3]
Определение 3.11.
Максиминное произведение нечетких отношений А и В на множестве Х характеризуется функцией принадлежности вида
В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения равна максиминному произведению матриц отношений А и В, т.е. получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения обычных отношений.
Определение 3.11а.
Минимаксное произведение нечетких отношений А и В на Х определяется функцией принадлежности вида
Определение 3.11б.
Максимультипликативное произведение нечетких отношений А и В определяется функцией принадлежности
Для сравнения друг с другом введенных операций произведения приведем простой пример произведения отношений А и В на конечном множестве X, состоящем из двух элементов.
Проекции нечетких отношений.
Выберем некоторое число y и рассмотрим множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что (рис. 3.8), т.е. множество вида .
Для фиксированного множество R(y) образовано всеми числами из интервала [0,1], не меньшими y. Объединение всех таких множеств по всем называется первой проекцией R(1) отношения R, т.е.
Множество R(1) обладает тем свойством, что для каждого его элемента x найдется элемент y , что (в данном примере ). [3]
Рис. 3.8. Множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что
Если аналогичным образом ввести множества вида
и взять их объединение по всем , то получим вторую проекцию R(2) отношения R:
Для любого элемента найдется такой элемент , что (в данном примере ).
В приведенном примере первая и вторая проекции отношения R ( ? ) совпадают со всем интервалом [0, 1], т.е. . Более общий случай иллюстрирует рис. 3.9.
Рис. 3.9. Общий случай проекции
Легко проверить, что декартово произведение представляет собой наименьшее прямоугольное множество, содержащее R.
Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R - нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности . Для произвольного нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид , где y - фиксированный элемент множества X. Например, для нечеткого отношения R=(близко к), заданного на числовой оси, множество R(y) можно понимать как нечеткое множество чисел, близких к выбранному числу y.
Объединение нечетких множеств R(y) по всем называется первой проекцией R(1) нечеткого отношения R. [3]
Согласно определению операции объединения нечетких множеств функция принадлежности имеет вид
Если - декартово произведение первой и второй проекций нечеткого отношения R, то . Этот факт следует из определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств:
Тогда функции принадлежности первой и второй проекции этого отношения таковы:
Свойства нечетких отношений.
Рефлексивность.
Нечеткое отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого выполнено равенство
В случае конечного множества X главная диагональ матрицы рефлексивного нечеткого отношения R состоит целиком из единиц. Примером рефлексивного нечеткого отношения может служить отношение "примерно равны" в множестве чисел.
Антирефлексивность.
Функция принадлежности антирефлексивного нечеткого отношения обладает свойством
при любом . Антирефлексивно, например, отношение "много больше" в множестве чисел. Ясно, что дополнение рефлексивного отношения антирефлексивно.
Симметричность.
Нечеткое отношение R на множестве X называется симметричным, если для любых выполнено равенство
Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного в конечном множестве, симметричная. Пример симметричного нечеткого отношения - отношение "сильно различаться по величине".
Антисимметричность.
Функция принадлежности антисимметричного нечеткого отношения обладает следующим свойством:
Это свойство можно описать и следующими двумя эквивалентными способами:
Антисимметричным, например, является нечеткое отношение "много больше".Заметим, что не всякое нерефлексивное (несимметричное) отношение является антирефлексивным (антисимметричным).
Транзитивность.
Нечеткое отношение R на множестве Х называется транзитивным, если .
Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения произведения нечетких отношений. Если обозначить через максиминное, минимаксное и максимультипликативное произведения отношения R само на себя, то нетрудно убедиться в том, что . Действительно, при любых выполняются неравенства
из которых и вытекают соответствующие включения. [3]
Если к слову транзитивность приписывать название соответствующей операции произведения нечетких отношений, то получаем: (минимаксная транзитивность R) => (максиминная транзитивность R) => (максимультипликативная транзитивность R). Иными словами, нечеткое отношение, обладающее свойством минимаксной транзитивности, обладает транзитивностью и двух других типов, а отношение, обладающее максимультипликативной транзитивностью, может, вообще говоря, и не быть транзитивным в двух других смыслах. [3]
Для обычного отношения, т. е. в случае, когда функция принимает лишь значения 0 и 1, максиминная и максимультипликативная транзитивности эквивалентны обычной транзитивности отношения.
Всюду ниже под транзитивностью нечеткого отношения мы будем понимать максиминную транзитивность, т. е. считать, что при любых функция принадлежности транзитивного нечеткого отношения R на множестве X удовлетворяет неравенству
Транзитивным, например, является рассматривавшееся ранее нечеткое отношение .
Транзитивное замыкание нечеткого отношения R определяется по аналогии с обычными отношениями:
Нетрудно проверить, что транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение и что транзитивное нечеткое отношение совпадает со своим транзитивным замыканием. [3]
4. ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ БАНКОВСКИМИ РЕСУРСАМИ В СВЕТЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
4.1 Описание проблемы
Проблема формализации банковской деятельности и управления ресурсами банка как динамической системы актуальна и является одной из ведущих проблем современности. В работе рассмотрен сравнительно новый класс задач принятия решений, полученный путем объединения идей нечеткости и методик организации банковской деятельности.
В конкретных приложениях в технике, управлении, экономике или экологии подобные проблемы могут обладать самыми различными специфическими особенностями, в связи с чем построение единой "универсальной" методики, позволяющей без адаптации решать многокритериальные задачи в различных отраслях, представляется нецелесообразным как с методической, так и практической точек зрения. [5]
В то же время анализ важнейших проблем постановки и решения многокритериальных задач, а также накопленный опыт решения этих задач в различных отраслях, позволили сделать вывод о целесообразности и методической обоснованности разработки некоторой "базовой". Такая "базовая" методика должна обеспечивать разрешение ключевых проблем, присущих всем многокритериальным задачам, независимо от конкретных приложений.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
