В учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2007/2008 учебный год, существуют разные подходы к изучению уравнений. Для сравнения рассмотрим следующие учебники.

1. [1], [2], [3].

2. [33], [34].

3. [35], [36], [37], [38].

4. [4], [5], [6].

5. [13], [14], [15].

6. [9], [10], [39].

В таблице 3 (Приложение 1) представлен сравнительный анализ содержания и последовательности изучения темы «Уравнения» по данным учебникам. Из данной таблицы видно, что содержание данной темы изложено по-разному. Отличие наблюдается и в порядке следования тем, и по месту в учебном процессе, и по объёмам изложенного материала, его сложности и значимости, и по системе задач.

Анализ учебников для классов общеобразовательных учреждений

Отметим, что в учебниках [1], [2], [3] тема «Уравнения» следует за темой «Алгебраические выражения» и изучается в начале учебного года. Понятие уравнения вводится в 7-м классе через сюжетную задачу, как равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Далее дано определение корня уравнения, как значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство, и на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие решить уравнение (найти все его корни или установить, что их нет), на интуитивном уровне вводится понятие линейного уравнения, так как оно не получает явного определения, а заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами.

Далее, в теме «Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным», вводятся свойства уравнений (о переносе членов уравнения и умножении их на одно и то же, неравное нулю число), и тем самым учащимся обосновывается известный из курса математики V-VI классов способ решения уравнений, много времени уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения.

Для закрепления данной темы приводятся задачи:

1) на оперирование основными понятиями;

2) на овладение алгоритмом решения уравнений данного класса;

3) на применение уравнений к решению текстовых задач.

Более глубоко данная тема изложена в учебнике [2]. Система упражнений включает не только задания на отработку типовых умений, но и задачи повышенной трудности (задачи на доказательство, на составление программ для вычисления значения выражения, системы уравнений с двумя неизвестными, где одно из уравнений третьей степени, текстовые задачи на движение, задача Маклорена). В данном курсе изучаются квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, уравнения вида , где >, приведённые квадратные уравнения, формулы для нахождения корней данных уравнений, теорема Виета и обратная теорема. Это единственный учебник, в котором подробно изучена тема «Комплексные числа» и их связь с уравнениями - «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными».

В учебнике [3] есть несколько упражнений на решение иррациональных уравнений. Для решения таких уравнений используется метод возведения в квадрат и координатный метод. В главе «Элементы тригонометрии» приведены упражнения на решение тригонометрических уравнений.

Заметим, что в упражнения для повторения включен отдельный пункт, в который входят упражнения на решение различных видов уравнений и их систем, задачи на составление уравнений. Примечательно то, что более трудные задачи по теме «Уравнения» нашли свое отражение в разделе «Задачи для внеклассной работы».

В учебниках [33], [34] понятие уравнения, в отличие от учебников [1], [2], [3], вводится уже в 5-м классе в главе «Натуральные числа», хотя и также через сюжетную задачу. Определение уравнения, его корня и решения аналогично определению, данному в учебнике [1]. Однако нахождение неизвестного базируется не на основе использования основных свойств, а с помощью правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя, с использованием переместительного, сочетательного и распределительного законов. В 5-м классе учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при решении текстовых задач (непосредственно само решение задач, составление задач по уравнению, определение значения выражения), таким образом, учащиеся еще и логически мыслят, рассуждают, анализируют.

Учебник [34], по сути, является продолжением учебника [33], так как с темой уравнения учащиеся соприкасаются только при непосредственном решении самих уравнений и текстовых задач. Единственное отличие заключается в следующем: учащиеся при решении уравнений используют операцию раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, базирующуюся на законах, известных из курса 5-ого класса. И только по окончании курса 6-ого класса на основании уже изученного ранее вводятся два свойства решения уравнений, которые в учебниках [1], [2], [3] имеют место в 7-м классе.

В учебниках [35], [36], [37], [38] понятие уравнения вводится впервые в 6-м классе также через сюжетную задачу. Правила решений аналогичны правилам, данным в учебниках [33], [34]. Однако заметим, что определение понятия решить уравнение и определение понятия корень не даны, как, впрочем, не сказано о том, сколько вообще корней может иметь уравнение. Данные понятия вводятся лишь в учебнике [36].

Дальнейшее изучение темы «Уравнения» продолжается в курсе алгебры 7-ого класса. Примечательно, что также как и в учебниках [33], [34], учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при составлении и решении текстовых задач. Однако стоит отметить то, что материал по данной теме не является цикличным - весь необходимый материал изучается отдельными блоками, а блоки структурированы по сложности (от простых уравнений к более сложным).

Система задач в учебниках [35], [36], [37], [38] значительно шире, помимо задач на оперирование основными понятиями и задач на овладение алгоритмом решения уравнений при решении текстовых задач (причем не только алгебраическим методом, но и арифметическим), она включает еще и упражнения в чтении и записи алгебраических упражнений, упражнения на истолкование алгебраических выражений для разных условий задачи, упражнения на составление алгебраических выражений и задач по готовым выражениям, кроме того, присутствуют задания тестового характера. Задания повышенной трудности вынесены в пункты под названием «Для тех, кому интересно». Способы решения уравнений аналогичны способам, данным в учебниках других авторов.

Примечательно то, что при решении уравнений учащиеся могут пользоваться не только основными свойствами, но и методами, которые используются в учебниках [11], [12].

В 8-м классе учащиеся решают квадратные уравнения (в том числе неполные и приведенные уравнения), пользуясь приемом выделения квадрата двучлена, методом замены переменной, методом разложения на множители, теоремой Виета. Система задач по теме «Квадратные уравнения» включает разнообразные задачи: задачи на оперирование основными понятиями, задачи на составление уравнений, задачи на заполнение пропусков в уравнении и другие.

Примечательно, что в учебнике [37] находит отражение формула нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (1) и формула нахождения корней приведенного квадратного уравнения (2):

(1)

(2)

Далее учащиеся закрепляют навыки решения уравнений при решении различных систем уравнений и задач.

В курсе 9-ого класса учащиеся решают уравнения с модулем, целые, рациональные, иррациональные, дробные уравнения, уравнения с параметром, задачи на составление уравнений, системы уравнений с двумя переменными. Отметим, что в учебнике [38] для нахождения корня уравнения используется графическое исследование уравнений.

Таким образом, в учебном пособии [38] охвачен более широкий класс уравнений, чем в учебниках других авторов, а в главу «Повторение» включены все виды уравнений, изученных ранее, а также системы уравнений второй степени.

В учебниках [4], [5], [6] перед введением уравнений с одной переменной изучаются сначала выражения и их преобразования. Понятие уравнения с одной переменной вводится через сюжетную задачу в 7-м классе. Далее дано определение корня уравнения: «Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство» [[4], 23с.]; на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие «решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет» [[4], 24с.] и равносильные уравнения. Далее рассматриваются линейные уравнения с одной переменной.

Отметим, что система задач включает однотипные упражнения на решение уравнений, почти все они обязательного уровня. Однако, пункт «Дополнительные упражнения» содержит разнообразные задачи повышенного уровня, а, в общем, весь курс алгебры 7-ого класса пронизан уравнениями различной степени сложности.

Отметим также, что в учебнике [4] курс алгебры 7-ого класса начинается и заканчивается темой уравнения. В конце учебного года в главе «Системы линейных уравнений» вводится определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Система задач в данной главе включает упражнения различной степени сложности на решение уравнений и их систем различными способами.

В пункт «Задачи повышенной трудности» включены параметрические уравнения, уравнения с модулем, целочисленные уравнения, а также задачи на составление систем уравнений и их решение.

В учебнике [5] в главе «Квадратные корни» изучаются уравнения вида , позднее вводится определение квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Система задач включает упражнения на решение квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других видов уравнений различными методами, а также упражнения на решение задач с помощью системы уравнений. Отметим, что в учебнике [5] имеется глава «Дополнительные упражнения», в которую включен очень широкий класс задач различной степени сложности на решение уравнений.

В учебнике [6] уравнения изучаются в отдельной главе, в которую включены целые уравнения, биквадратные, иррациональные уравнения, системы уравнений с двумя переменными и системы уравнений второй степени, а также задачи на составление систем уравнений. Система задач, также как и в учебнике [5], включает упражнения различной степени сложности, в том числе, и задачи повышенной трудности.

В учебниках [13], [14], [15] заложено проблемное изложение материала, развивающее обучение и диалектический подход к введению математических понятий.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13