; ; .

Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач с привычного родного языка на специальный, математический язык.

Рассмотрим несколько задач с примерами такого перевода.

Задача 1. Сережа, Костя и Денис принесли на выставку 120 почтовых марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - в 2 раза больше марок, чем Сережа. Сколько марок принес на выставку Денис.

120

С. К. Д.

25 ?

Марки Дениса составляют часть всех марок, которые принесли мальчики. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок вычесть марки Сережи и Кости. Из условия известно, что все трое ребят принесли 120 марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - марок. Значит, Денис принес марок.

Выражение является математической моделью данной задачи.

Задача 2. В соревнованиях по плаванию приняло участие 60 человек, причем мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях.

Всех участников соревнований можно разбить на 2 группы - мальчики и девочки. Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение, так как не известно ни число мальчиков, ни число девочек

60 60

девочки мальчики девочки мальчики

? ? x 3x

Обозначим число девочек через x. Тогда число мальчиков равно 3x, а всего участников соревнований . Но по условию задачи всего участников 60, и значит, равенство является математической моделью данной задачи.

Мы перевели условия задачи на математический язык, но не решили их, то есть не ответили на поставленный вопросы. Как же найти неизвестные числа?

После перевода получились новые тексты задач.

Решение первой задачи свелось к нахождению значения выражения , что не вызывает никаких трудностей.

Таким образом, ответ к первой задаче следующий: «Денис принес на выставку 45 марок».

Во второй задаче необходимо найти неизвестные числа x и 3x, если выполняется равенство .

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. С уравнениями вы уже знакомы и умеете их решать.

, тогда .

,

.

Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно или 45.

Из рассмотренных примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

Далее ученикам предлагается выполнить следующие задания.

Задание 1. Переведите условие задачи с русского языка на математический двумя различными способами:

Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 400 руб. За 8 тетрадей в клетку надо заплатить на 1600 руб. больше, чем за 10 тетрадей в линейку. Какова цена этих тетрадей? (См. № 116 (3), [11])

Задание 2. Построй математическую модель задачи и реши ее.

Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? (См. № 201 (1), [13])

Задание 3. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков еще не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома. Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов? (См. № 414, [13])

В школе в качестве моделей изучаются не только числовые или буквенные выражения и уравнения. В старших классах вы познакомитесь с другими видами уравнений, неравенствами, системами уравнений или неравенств, а также с функциями.

Приложение 2

Разработка занятия математического кружка по теме «Решение задач с применением метода математического моделирования»

Ход занятия:

Распространенным видом математических моделей являются уравнения. На этом занятии мы будем учиться решать задачи с помощью уравнений. Но прежде чем ответить на вопрос, как решать задачи, попытаемся разобраться, для чего их решать.

Задачи в истории возникли как инструмент тренировки ума. Ситуации, описанные в задачах, иногда кажутся надуманными. Но для составителя это не важно, так как он не повторяет реальную ситуацию, а конструирует ее, сохраняя связи между величинами в реальных процессах. Таким образом, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций.

Математическое моделирование включает в себя три этапа:

1) построение модели (перевод условия задачи на математический язык);

2) работу с моделью;

3) практический вывод.

В соответствии с этим и решение задач с помощью уравнений состоит из трех этапов:

1) составление уравнения;

2) решение уравнения;

3) ответ на вопрос задачи.

Составление уравнение начинается с выбора неизвестной величины, которую обозначают буквой x (или любой другой буквой). Для этого прежде всего надо определить, о каких величинах идет речь в задаче, какая между ними взаимосвязь, какие из величин известны, а какие нет.

Обычно за x принимают искомую величину, однако это совсем не обязательно. Лучше обозначать величины так, чтобы получилось более простое и удобное для решения уравнение.

Есть еще один важный момент, на который нужно обращать внимание при составлении уравнения - это соответствие единиц измерения величин. Если, например, скорость движения выражена в километрах в час, а время в минутах, то необходимо или время выразить в часах, или скорость - в километрах в минуту.

Решая задачу с помощью уравнения, надо помнить о том, что не всегда корни уравнения представляют собой искомые величины. Поэтому перед тем, как записать ответ, надо сопоставить введенные обозначения с вопросом задачи.

Кроме того, ответ должен соответствовать реальности. Например, если получилось, что в классе 25,8 учащихся, то либо задача составлена не корректно, либо в решении допущена ошибка.

Итак, при решении задач с помощью уравнений можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1) Внимательно прочитать задачу.

2) Определить, какие величины известны, а какие - нет.

3) Проверить соответствие единиц измерения величин.

4) Одну из неизвестных величин обозначить буквой x (или любой другой буквой).

5) Выразить через x значения других неизвестных величин, используя при необходимости таблицы и схемы.

6) Составить уравнение.

7) Соотнести корень уравнения с вопросом задачи.

8) Проверить соответствие полученного ответа реальному процессу.

Приведем пример решения задачи с помощью уравнений.

Задача. В первой бочке было в 2 раза меньше огурцов, чем во втором. После того как из первой бочки взяли 500 г огурцов, а из второй - 6 кг, во второй бочке осталось на 60% огурцов больше, чем в первой. Сколько огурцов было во второй бочке первоначально?

1 этап. Прежде всего, заметим, что масса огурцов выражена в разных единицах.

Переведем граммы в килограммы: 500 г = 0,5 кг.

В задаче требуется найти исходную массу огурцов во второй бочке. Но за x удобнее принять исходную массу огурцов в первой бочке, так как она меньше и у нас не появится дробей.

Для того чтобы составить уравнение, заполним таблицу.

Заметим, что, составляя таблицу, делая к задаче рисунок или чертеж, мы также составляем математическую модель данной задачи, которая называется графической, что во многих случаях позволяет нам облегчить решение задачи.

Решение:

1) 100% + 60% = 160% - составляет масса огурцов, оставшихся во второй бочке от массы огурцов, оставшихся в первой бочке.

2) Пусть в первой бочке было x кг огурцов, тогда во второй бочке было 2x кг огурцов. В первой бочке осталось (x - 0,5) кг, а во второй - (2x - 6) кг огурцов. Масса огурцов, оставшихся в первой бочке, составляет 160% от массы огурцов, оставшихся во второй бочке, значит:

2 этап.

3) (кг)

3 этап. Ответ: во второй бочке было 26 кг огурцов.

Далее ученикам предлагается решить следующие задачи и сделать к ним рисунок:

Задача 1. Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом еще четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке? (См. № 118, [15])

Задача 2. Грузовик проехал в первый день треть всего пути, а во второй день - 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день - остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день? (См. № 117 (а), [15])

Задача 3. На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго в 2,5 раза больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на элеваторах первоначально? (См. № 150, [15])

Задача 4. Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик - за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученика (см. № 116 (а), [15])

Приложение 3

Контрольная работа по теме «Решение задач»

Вариант 1.

Задача 1. На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий - на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик? (См. № 137 (1), [13])

Задача 2. Таня задумала число, умножила его на 15 и результат вычла из 80. Получила 10. Какое число задумала Таня? (См. № 1212 (б), [22])

Задача 3. Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч, а его скорость по течению реки - 35 км/ч. Какое расстояние проплывет теплоход, если будет двигаться 2,6 ч по течению реки и 0,8 ч против течения? (См. № 225 (1), [13])

Задача 4. Трем братьям вместе 45 лет. Возраст младшего на 60% меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата - на 60% больше возраста среднего. Сколько лет младшему брату? (См. № 126 (а), [15])

Задача 5. Реши, составив пропорцию.

На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час? (См. № 293 (1), [14])

Вариант 2.

Задача 1. В детском хоре «Весна» занимаются148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора? (См. № 130 (1), [13])

Задача 2. Саша задумал число, прибавил к нему 25 и результат умножил на 10. Получил 200. Какое число задумал Саша? (См. № 1212 (в), [22])

Задача 3. Собственная скорость катера равна 14,7 км/ч, а скорость против течения реки - 10,2 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер, плывя 2 ч по течению реки и 4,5 ч против течения? (См. № 225 (2), [13])

Задача 4. В библиотеке 270 книг. Книг на английском языке на 40% больше, чем на французском, а книг на немецком - на 40% меньше, чем на французском. Сколько в библиотеке книг на английском языке?

Задача 5. Реши, составив пропорцию.

Оператор набрал на компьютере рукопись за 6,3 ч, работая с производительностью 16 стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого 21 стр./ч? (См. № 293 (2), [14]).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11