I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи.
Обозначим за x км/ч - скорость второго автомобиля, тогда скорость первого автомобиля равна (x+10) км/ч.
ч - время, потраченное на весь путь вторым автомобилем.
ч - время, потраченное на весь путь первым автомобилем.
Известно, что второй автомобиль потратил на путь на 45 мин больше, чем первый. .
. Полученное уравнение является математической моделью данной задачи.
II этап. Внутримодельное решение.
Перенесем все слагаемые в одну часть .
Приведем слагаемые к общему знаменателю .
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим следующую систему: .
Получили, что и .
III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи.
Так скорость автомобиля не может быть отрицательным числом, то условию задачи соответствует только один корень , т.е. скорость второго автомобиля равна 80 км/ч, а скорость первого 90 км/ч.
Задача 2. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 долларов. В последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 доллар больше. Сколько стоил магнитофон?
Решение.
I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи. Пусть х - число студентов в группе, у долларов - величина первоначально предлагаемого взноса. Тогда стоимость магнитофона . После того, как двое отказались участвовать в покупке, студентов стало , а взнос составил доллар. Следовательно стоимость магнитофона равна . Условие задачи можно представить в виде системы
Математическая модель построена.
II этап. Внутримодельное решение. Рассмотрим систему, состоящую из уравнения и неравенства
В уравнении раскроем скобки и приведем подобные. Получим следующую систему
Из уравнения выразим y, . Следовательно, . Так как х - натуральное число, то сейчас систему неравенств можно решать в натуральных числах. Из неравенства имеем х. Из неравенства имеем х. Таким образом, нужно найти натуральные решения неравенств . Ясно, что х = 20. Тогда у = 9 и = 180.
III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи. Магнитофон стоил 180 долларов.
Задача 3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Укажите такие размеры окна, чтобы при данном периметре l оно пропускало больше света (см. № 156, [18]).
I этап. Формализация. Построим математическую модель данной задачи.
Требуется найти размеры окна с наибольшей площадью. Обозначим размеры: r - радиус полукруга, h - высота прямоугольника, тогда основание прямоугольника 2r.
Чтобы определить, какое из переменных выбрать аргументом исследуемой функции, надо посмотреть, какое из них проще выражается через другое:
l=2r+2h+r, h=, r=.
Удобней выбрать r, так как для выражения площади понадобится r2, а h входит в это выражение линейно.
S(r)= . Эта функция и есть модель данной задачи.
Ясно, что 0<r<.
Найдем производную функции S(r): .
Воспользуемся необходимым условием экстремума: l-r(+4)=0. Отсюда r=. Из соображений здравого смысла окно не может иметь наименьшую площадь, поэтому найденное значение r - точка максимума. При этом r=h=.
III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи. Чтобы при данном периметре l окно пропускало больше света, необходимо установить следующие размеры окна: r=h=
Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из выше описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами. Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать ее как абстрактную науку.
Метод математического моделирования является мощным инструментом для исследования различных процессов и систем. Приложения этого метода к решению конкретных задач изложены в ряде известных монографий и учебных пособий. Вместе с тем, многие из них предполагают достаточно высокий уровень математической подготовки учеников, что зачастую вызывает определенные трудности при изучении материала. Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии и, наконец, задачам на применение производных и интегралов, могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования [24].
Кроме этих функций можно выделить еще одну - не менее важную - эвристическую. Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта -- показать его внутренние закономерности. В этом и раскрывается эвристическая функция математического моделирования и его возможности для решения проблем разных наук: биологии, химии, физики, медицины и других [30].
Применение нескольких функций математической модели спо-собствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полу-ченную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11