Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов

ри х = 7 имеем 70 + y = 7y + 66. Если мы от каждой части этого равенства отнимем одно и то же число y, то получим 70 = 6y + 66, откуда 6y = 4, что для натурального числа не возможно.

При х = 8 имеем равенство 80 + y = 8y + 66. Снова, вычитая из каждой части y, получим, 80 = 7y +66, 7y = 14, y = 2. Таким образом, для чисел х = 8 и y = 2 равенство выполняется, и число 82 удовлетворяет условию задачи:

82 = 8 · 2 + 66.

Следует обратить внимание учащихся, что нельзя считать задачу полностью решенной, поскольку перебор еще не закончен, и среди не рассмотренных случаев могут найтись решения.

Выполняя аналогичные преобразования, имеем при х = 9:

90 + y = 9y + 66,

90 = 8y +66,

8y = 24,

y = 3.

Показывая учащимся, что получилось еще одно решение, число 93, которое удовлетворяет 93 = 9 · 3 + 66, мы подчеркиваем важность полного перебора.

Авторы также советуют проводить перебор с помощью таблицы:

X	*Уравнение*	*Упрощенное уравнение*	Y
6	60 + y = 6y + 66		невозможно
7	70 + y = 7y + 66	6y = 4	невозможно
8	80 + y = 8y + 66	7y = 14	y = 2
9	90 + y = 9y + 66	8y = 24	y = 3

После того, как произведен полный перебор, важно научить школьников формулировать ответ в соответствии вопросу исходной задачи. В данном случае ответ будет таков: задумано либо число 82, либо 93.

К методу проб и ошибок и к методу перебора авторы еще раз возвращаются уже в 6 классе (§ 3, глава 3, [15]).

В 6 классе продолжается обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с помощью уравнений. Но прежде чем приступить к решению задач, авторы учебника пытаются дать ответ на вопрос: «Для чего решают задачи?» и приходят к выводу, что, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Далее выделяются три этапа математического моделирования:

1) построение модели;

2) работа с моделью;

3) практический вывод.

Распространенным видом математических моделей являются уравнения. В соответствии с этапами моделирования решение задач с помощью уравнений состоит также из трех этапов:

1) составление уравнения;

2) решение уравнения;

3) ответ на вопрос задачи.

Учащиеся обучаются выбирать переменные, составлять уравнения, решать их и анализировать результат.

Система задач, приведенная в учебниках [11 - 15] позволяет достаточно полно раскрыть методы исследования математических моделей, большое внимание уделяется решению задач с помощью уравнений, так как уравнения - это основной вид моделей, изучаемых в 5 - 6 классах. На основе этих упражнений учащиеся должны научиться понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а также понимать значение математической модели, уметь строить ее, искать наиболее рациональный способ ее исследования и правильно делать вывод о проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу.

2.3. Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования

Известно, что процесс мате-матического моделирования осуществляется в три этапа:

1) формали-зация;

2) решение внутри модели;

3) интерпрета-ция.

Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется работе над вторым этапом моделирования, в то время как форма-лизация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Необходимо организовать обучение уча-щихся элементам моделирования, относящимся ко всем трем эта-пам. Важным средством обучения элементам моде-лирования, относящимся к этапам формализации и интерпретации, являются сюжетные задачи, но этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко. Учащимся, как правило, сразу предъяв-ляется словесная модель задачи, поэтому представления о характе-ре отражения математикой явлений, описываемых в задачах, часто оказываются весьма примитивными, то есть нет условий для содержательного раскрытия деятельности, проходящей на этом этапе математического моделирования. Поэтому надо искать пути содержательного раскрытия и конкретизации этапов форма-лизации и интерпретации математического моделирования. Уже в 5 - 6 классах целесообразно использовать задачи, которые позволяют учить школьников действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации.

Моделирование включает в себя большое число составных элементов, поэтому большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования. В. А. Стукалов [28] выявляет следующие элементы:

1) замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;

2) оценка полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных;

3) выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;

4) оценка возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.

На основе перечисленных элементов математического моделирования, характерных для этапов формализации и интерпретации, можно выделить умения, которыми должны овладеть учащиеся для успешного освоения методом математического моделирования:

1) умение заменять исходные термины математическими эквивалентами;

2) умение оценивать полноту исходной информации;

3) умение выбирать точность числовых значений;

4) умение оценивать возможность получения числовых данных для решения задачи.

Проанализируем учебники [11 - 15] Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон с точки зрения наличия задач, применяемых для формирования у учащихся 5 - 6 классов выделенных умений.

Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается прежде всего на жизненном опыте учащихся, то есть знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук, вооружают учащихся навыками самостоятельной работы, способствуют сознательному применению имеющихся знаний к жизни, знакомят их с новыми приемами решения, развивают математическое мышление и практическую смекалку.

Обучение замене исходных терминов может происходить при формировании понятий. В анализируемых учебниках [11 - 15] такими математическими эквивалентами являются понятия «прямоугольник», в частности, «квадрат», «прямоугольный параллелепипед» (в частном случае «куб»), «окружность», «сфера». В заданиях, предложенных авторами учебника, всегда наряду с исходным термином указывается его математический эквивалент, что по нашему мнению является целесообразным. В тексте учебника встречаются следующие задачи.

Понятие «прямоугольник»

· Площадь баскетбольной площадки прямоугольной формы а м2, а длина 20 м. Какова ее ширина? (Cм. № 16 (1), [11]).

· На рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди площадь этого участка, и выразили ее в арах. Какова длина прямоугольника, имеющего такую же площадь и ширину 45 м? (Cм. № 57, [11]).

· Переведи условие задачи на математический язык:
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину - на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Какова площадь образовавшейся строительной площадки? (Cм. № 271 (2), [12]).

· Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора:
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м2. Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами (см. № 333(3), [11]).

Понятие «параллелепипед»

Прямоугольный параллелепипед является математическим эквивалентом «аквариума», «печи», «ящика», «бассейна». Например.

· Из фанеры требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 40 см, 20 см и 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Какова будет его вместимость? (Cм. № 272, [11]).

· Из жести сделали бак без крышки. Он имеет форму куба с длиной ребра 8 дм. Бак надо покрасить снаружи и изнутри. Какую площадь надо покрасить? Какова вместимость бака? (Cм. № 712, [11]).

· Чтобы сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических метров земли пришлось вынуть? (Cм. № 280 (1), [11]).

· Имеется два аквариума с измерениями 453250 см и 503245 см.

а) На изготовление какого из двух аквариумов потребовалось больше стекла?

б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором - на 5 см. В каком аквариуме больше воды? (Cм. № 547, [15]).

Понятия «окружность» и «круг»

При изучении окружности, круга и их свойств в учебнике используются задачи, в которых используются такие термины как «окружность колеса», «обороты колеса», «арена цирка», «циферблат часов», «беговая дорожка», «экватор Земли».

· Великий древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э.) установил, что длина окружности примерно в 3 раза больше ее диаметра. Пользуясь этим результатом, реши задачу: Какова длина беговой дорожки ипподрома, имеющей форму круга радиусом км? (Cм. № 307(1), [12]).

· Длина экватора Земли равна примерно 40000 км, а ее диаметр составляет длины экватора. Чему равен диаметр Земли? (Cм. № 488, [12]).

· Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число округли до целых (см. № 549 (2), [15]).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11