Рис. 49.

Возьмем функцию в общем виде: у=х+ при x>0.

Так как среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического этих чисел или ему равно, то

Минимальное значение суммы имеет место при условии, что =2; откуда получаем:

; ;

x= и

Для заданной функции, следовательно, имеем:

при х==.

Левая ветвь графика косо симметрична правой.

20. у=х- (рис. 50).

Рис. 50.

Функция нечетная. Построение проведено для х>0.

Вспомогательные функции: у1=х и у2=-.

Ординаты искомого графика получаются алгебраическим сложением ординат у1 и у2. Так как ординаты графика у2 отрицательны, то они откладываются вниз от графика у1.

Прямая у1=х является асимптотой для искомого графика, причем правая ветвь графика приближается к этой асимптоте снизу Кроме того, имеем:

при х0 у=х-?;

при х=1 у1=1; -у2=-1; у=у1 - у2=0.

21. y=sinx+cosx (рис. 51).

Рис. 51.

Преобразуем заданную функцию:

.

Строим график преобразованной функции:

.

22. y=cosx- sinx (рис. 52)

Рис. 52.

Аналогично предыдущему преобразуем данную функцию:

и строим график функции:

.

§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций

Произведение и частное двух функций поддаются общему исследованию, на основании которого и может быть построен график.

Часто построение графика упрощается, если предварительно построить вспомогательные графики функций, входящих в произведение или частное.

Иногда произведение или частное возможно преобразовать так, что построение графика преобразованной функции оказывается проще.

Эти и некоторые другие приемы построения графиков произведения и частного двух функций иллюстрируются следующими примерами.

1. y=xsinx (Рис. 53).

Рис. 53.

Строятся (штриховыми линиями) вспомогательные графики функций, входящих в заданное произведение: у1=х; y2=sinx.

Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что функция y2=sinx периодически принимает значения 0 и 1. В первом случае искомый график y=xsinx пересекает ось абсцисс, во втором - касается вспомогательной прямой у1=х.

Так как функция y2=sinx периодически принимает еще значение
(-1), то построение облегчается, если построить еще одну вспомогательную прямую: у3=-х (на рисунке эта прямая построена штрих-пунктирной линией).

Для всех х=2 заданный график касается этой вспомогательной прямой, так как для этих значений х

sinx=-1.

Так как заданная функция y=xsinx четная [(-x)sin(-х)=
=(-х)(-sinx)=xsinx], то указанное построение проводится только для правой части графика; левая часть графика строится затем симметрично правой.

Рис. 54.

2. у= -хcosx (Рис. 54).

Так же, как и в предыдущем случае, помимо графиков двух вспомогательных функций: у1=-х и y2=cosx, входящих в заданное произведение, построен еще третий вспомогательный график функции: у3=х.

Далее построение аналогично предыдущему.

3. y= (Рис. 55).

Замечаем, что заданная функция нечетная, так как ==
=-. Поэтому построение проводится только для правой части графика, левая часть графика строится затем косо симметрично правой.

На чертеже построены два графика вспомогательных функций, входящих в. заданное частное: и y2=sinx, и третий вспомогательный график: у3=-.

Остальные построения аналогичны предыдущим.

Рис. 55.

Следует особо объяснить вид графика при х0, так как в этом случае получается неопределенность вида , которую следует раскрыть.

Известно, что , т. е. что при x0sinx~х. Следовательно, можно записать:

4. (Рис. 56).

Функция четная, так как .

Вспомогательные функции: y1=sinx; у2= и y3=

Заданный график строится как график произведения: у1y2=sinx.

Рис. 56.

5. y=axlogbx, где а>0; а?1 и b>1 (Рис. 57).

Вспомогательные функции: у1=ах; y2=logb x.

Так как область существования функции у2=logb x есть интервал (0, ), что определяет область существования заданной функции, то и график вспомогательной функции y1=ах построен только для х>0.

Заметим, что при x=b y2=logbb=l и у=у1у2=аb, получаем точку А(b;аb).

6. у=|х| (рис. 58).

Функция четная. Построение проводится для правой части графика; левая часть графика симметрична правой.

Вспомогательные графики: у1 =|х|; у2=.

При x=± у2==1, поэтому график заданной функции пересекает прямую y1=|х| в точке A(, ).

При х=1 у2=0 и у=0.

Рис. 58.

7. (Рис. 59).

Функция нечетная, так как

Вспомогательные графики функций y1=arctgх и у2=|х| пoстроены только для х>0.

Рис. 59.

Характерные точки (для правой части графика):

1)

так как при х0 tgxx;

2);

3) при х= y=; точка (1,7; 0,6).

8. у= (Рис. 60).

Вспомогательные графики: у1=соsх; y2=log4x. Находим область существования заданной функции.

Числитель у1=соsх не дает никаких ограничений для х.

Рис. 60.

Знаменатель y2=log4x обусловливает:

а) х>0,

б) log4x?0, т. е. х?1.

Следовательно, область существования заданной функции состоит из двух интервалов: (0; 1) и (1; ?).

Так как х>0, то и вспомогательный график у1 строится только для правой полуплоскости.

Характерные точки:

1)

2) . Прямая x= 1 является асимптотой графика;

3) при x=4 y2=log44=l, поэтому искомый график пересекает график вспомогательной функции у1 при x=4;

4) при х= у1=соsx=0, у=0 - в этих точках заданный график пересекает ось абсцисс.

График колеблется около оси абсцисс, приближаясь к ней.

Список использованных источников и литературы

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993..

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Вейц Б.Е., Ивашев - Мусатов О.С., Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1997.

Денищева Л.О., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя - М.: Просвещение, 1988.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

Мордкович А.Г. Алгебра - 7. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 8. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 9. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа- 10-11. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 7-9. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович А.Г. Алгебра - 10-11. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы, Москва, Просвещение, 1983.

Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников, Москва, Наука, 1983.

В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990.

Гурский И.П. Функции и построение графиков. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1968.

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - Москва. 1969.

К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987.

Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение, 1979.

С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных функций, Москва, Наука, 1966.

Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев. - М.: Дрофа, 2002.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12