Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 6). Другим примером может служить функция y=x+1+sinx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.
Этот пример показывает, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен.
Рис. 6.
Поэтому для построения графика заданной функции, как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.
Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим в §4, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.
§ 1.5. Основные свойства функции п.1.5.1. ограниченность
Теперь мы должны ознакомиться со свойством функций, которое является интегральным, т. е. может быть определено сразу для любого множества значений независимой переменной, не нуждаясь в предварительном определении для отдельных её значений (в отдельных точках). Функция у=f(х) называется ограниченной на множестве M, если все значения, принимаемые ею на этом множестве, принадлежат некоторому отрезку; очевидно, вместо этого мы можем предъявить и совершенно равносильное требование: существует такое положительное число с, что f(х)<с для всех хМ. Более детально, мы называем функцию у ограниченной сверху (снизу) на М, если существует такое число с, что f(х)<с (f(х)>с) для всех хМ. Функция просто ограниченная должна быть для этого, очевидно, ограничена как сверху, так и снизу.
Число с, о котором говорится в определении ограниченности, выбирается сразу для всего множества М. В каждой отдельной точке этого множества, если функция в ней определена, такое число с существует тривиальным образом: для точки х достаточно положить, например, с=|f(x)|+1. Но функция, определённая, например, в каждой точке некоторого отрезка, может быть и неограниченной в этом отрезке; чтобы в этом убедиться, вспомним, что tgх возрастает безгранично при х-0, так что функция
не ограничена в отрезке [0, ].
Как для многих интегральных свойств, можно, однако, и для ограниченности функции на данном отрезке указать такое локальное свойство, выполнение которого в каждой точке данного отрезка равносильно выполнению рассматриваемого интегрального свойства. Условимся называть функцию у ограниченной в точке х, если она ограничена в некоторой окрестности U числа х. Мы можем теперь утверждать, что для ограниченности функции у=f(х) на отрезке [а, b] (закрытом) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена в каждой точке этого отрезка. Необходимость этого условия вытекает из самих определений и не нуждается в доказательстве; чтобы, показать его достаточность, допустим, что каждое число х отрезка [а, b] может быть окружено окрестностью Ux, в которой функция у ограничена: применяя лемму Гейне-Бореля, мы находим, что отрезок [а, b] покрывается конечным числом отрезков = 1, 2, ..., n) в каждом из которых у ограничена. Если |у|<Сi в отрезке i (i=1, 2, ..., п) и если с есть наибольшее из чисел с1, с2, ..., сn, то |у|<с для всех х[а, b], чем наше утверждение и доказано.
Условимся называть множество чисел N ограниченным, если все входящие в него числа могут быть заключены в некоторый отрезок. Очевидно, что ограниченность функции у=f(х) на множестве М равносильна ограниченности множества N значений, принимаемых этой функцией, когда величина х «пробегает» множество М, т. е. принимает всевозможные значения, принадлежащие этому множеству. Само собою ясно, что означают термины «множество N ограничено сверху (или справа)» и «множество N ограничено снизу (или слева)».
Условимся называть число верхней гранью множества N, если: 1) множество N не содержит чисел, больших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее этому множеству. Подобным же образом нижней гранью множества N мы назовём такое число , что: 1) в множестве N нет чисел, меньших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее множеству N. Очевидно, что множество, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, ограничено сверху (снизу).
Пример 14. Доказать, что функция f(х)= не является ограниченной сверху.
Решение. Нужно доказать, что для любого числа b существует (хотя бы одно) значение х из области определения функции, для которого f(x)b, т.е. b.
Область определения функции представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-, 1) и (1,). Очевидно, что если b, то неравенство b выполняется, например, при х=0. Если же b>0, то неравенство b в области определения функции равносильно неравенству |х-1|,которое выполняется, например, при х=1+, что и требовалось доказать.
п.1.4.2. четность, нечетность
Функция у=f(х) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (т.е. если точка а принадлежит области определения, то точка -а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).
Функция у=f(х) называется нечетной, если:
область определения этой функции симметрична относительно точки 0;
2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=-f(-x).
Без труда проверяется, что функция y=|х| является четной. Точно так же функция у=х2n четна, а функция у=x2n+1 нечетна (при любом целом п). Без труда проверяется также, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций снова являются четными функциями. Далее, сумма и разность двух нечетных функций являются нечетными функциями. Наконец, произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями, а произведение и частное четной и нечетной функций являются нечетными функциями
Из сказанного следует, например, что многочлен, у которого все показатели четны, является четной функцией, а многочлен, у которого все показатели нечетны, является нечетной функцией. Так, функция y=х4+2х2-1 четна, а функция х3-х5 нечетна.
Не следует думать, что всякая функция непременно является или четной или нечетной: существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.
Пример 15. Доказать, что функция f(х)=2х+1 не является ни четной, ни нечетной.
Решение. Областью определения этой функции является вся числовая ось, т. е. условие 1) в определении четной и нечетной функций выполнено. Чтобы доказать, что функция f(х), не является четной, мы должны поэтому доказать, что условие 2) в определении четной функции не выполнено, т. е. что существует (хотя бы одно) значение х, для которого f(x)f(-x). Возьмем x=1. Тогда f(1)=3, f(-1)=-1, т.е. f(1)f(-1). Таким образом, функция f(х) не является четной. Аналогично, так как f(1)-f(-1), то функция f(x)=2x+1 не является нечетной.
Четность или нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции. Именно, имеют место следующие две теоремы:
Теорема. График четной функции симметричен относительно оси у.
Доказательство. Пусть точка (x0; y0) принадлежит графику четной функции у=f(х), т.е. у0=f(х0). Точка, симметричная с точкой у=f(х) относительно оси у, имеет координаты (-х0; у0). Надо доказать, что точка (-x0; y0) принадлежит графику функции у=f(х), т.е. доказать, что y0 =f(-х0). Но это следует из определения четной функции: f(-х0)=f(х0)=y0.
Теорема. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Замечание. Из этих теорем следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно оси у, т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно оси у. В частности, таким способом можно построить график функции y=f(|x|), так как функция f(|x|) является четной. Для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно точки (0; 0), т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно начала координат. (Заметим, что для осуществления симметрии некоторой кривой относительно начала координат можно поступить следующим образом: сначала данную кривую К симметрично отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую К' симметрично отразить относительно оси абсцисс, рис. 10)
п.1.4.3. монотонность
Функция у=f(х) называется неубывающей на отрезке [а, b], если при ах1х2b всегда f(x1)f(x2); если при том же условии всегда f(x1)f(x2), функция f(х) называется невозрастающей на отрезке [а,b]. Неубывающие и невозрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают целым рядом специальных свойств, которые делают их во многих случаях очень удобным орудием исследования.
Прежде всего всякая функция f(х), монотонная на данном, отрезке [а, b], ограничена на этом отрезке [как обычно, отрезок предполагается закрытым; для открытых отрезков утверждение неверно: функция у= монотонна, но не ограничена в открытом отрезке (0,1)]; в самом деле, при аxb f(х) заключено между f(a) и f(b); очевидно, далее, что гранями монотонной функции служат её значения f(а) и f(b) в концах данного отрезка; эти же числа служат наибольшим и наименьшим значениями монотонной функции f(х) в отрезке [а, b].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
