Кроме того, рассматривается функция у=2х при х=. Доказывается, что при вычислении получается конкретное число. То есть в учебнике Мордковича рассматриваются функции не только с рациональным показателем, но и действительным.
При формулировке общих свойств графика функции, рассматриваются два случая, когда основание целое число и дробное число большее нуля, но меньшее единицы. И только после этого вводится определение показательной функции.
Кроме того, в учебнике Мордковича изучается горизонтальная асимптота графика функции, и способ ее отыскания.
В учебнике обращается внимание на то, что учащиеся иногда путают понятия показательной функции и стенной. Предлагается сравнить данные функции. Далее автор не забывает упомянуть функцию . Говорится, что данная функция не считается ни показательной, ни степенной, но ее иногда называют показательно- степенной.
Во втором замечании автор говорит, что не рассматривается показательная функция с основанием а=1.
§2.6. Логарифмическая функция.
В учебнике Алимова с логарифмической функцией учащиеся впервые сталкиваются в 10 классе.
Основная цель - познакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.
До введения понятия логарифмической функции формируется понятие логарифма числа, изучаются свойства логарифмов.
§6 начинается с определения логарифмической функции. После чего формулируются свойства данной функции. Аналитическое обоснование свойств функции от всех учащихся не требуется.
В конце параграфа дается теорема:
если logax1=logax2, где a>0, a1, x1>0, x2>0 то x1=x2.
В учебнике Колмогорова логарифмическая функция вводится 11 классе. Логарифмическая функция, как и показательная, не может впервые вводится с помощью формулы (как это делается в учебнике Алимова). Причина этого в том, что в курсе алгебры еще не введено понятие логарифма числа. Поэтому функция вводит, как обратную к показательной функции f(x)=ax , хR. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. (Причем у Алимова понятие обратной функции вводится после введения логарифмической функции.) В отличии от учебника Алимова у Колмогорова не сформулировано свойство о положительных и отрицательных значениях х.
В учебнике Мордковича понятие логарифма в §48 вводится при помощи графических соображений. Предлагается одновременно рассмотреть две функции и . Делается наблюдение, что данные графики симметричны относительно прямой у=х. После чего дается определение логарифмической кривой.
При формулировке свойств рассматривается два случая, когда основание больше 1 и когда основание больше нуля, но меньше единицы. Кроме тех свойств, которые перечислены в учебниках Алимова и Мордковича здесь рассматриваются свойства выпуклости, непрерывности, ограниченности, четности, наибольшего или наименьшего занчения.
§2.7. Тригонометрические функции.
В 11 классе в учебнике Алимова изучаются свойства и графики функций y=cosx, y=sinx, y=tgx. Обратные тригонометрические функции.
Основная цель - изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики.
Первой тригонометрической функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится функция y=cosx, в §19.
Изучение данных функций начинается с повторения определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла которые были введены в 9 классе.
Так как функция y=cosx периодична с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2. Кроме того достаточно построить ее график на отрезке 0х, а затем симметрично отразить относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, доказывается, что функция y=cosx убывает на отрезке 0х. Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую прямую.
После построения формулируются основные свойства функции y=cosx.
В §20 вводится функция y=sinx. Для построения функции используют формулу:
.
Эта формула показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на
Затем формулируются свойства функции y=sinx.
В §21 изучается функция y=tgx.
Построение графика функции тангенс, как и косинус, начинается с исследования. Сначала график строится на промежутке , а затем распространяется на всю числовую прямую. Для этого доказывается, что функция y=tgx возрастает на промежутке . Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на всю числовую прямую.
После чего формулируются свойства функции y=tgx.
В учебнике Колмогорова все тригонометрические функции вводятся в одном параграфе, который начинается с основных тригонометрических определений. Данные определения не являются новыми для учеников - это повторение материала 9 класса. После этого происходит построение графика функции y=sinx по точкам с использованием свойств периодичности и единичной окружности.
По графику демонстрируются свойства данной функции: ее область определения, область значения, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки постоянных знаков функции. Аналогично рассматриваются свойства функции y=cosx и y=tgx и на графиках этих функций демонстрируются их свойства.
В 9 классе в учебнике Мордковича предлагаются элементы теории тригонометрических функций. Эта глава рассматривается, как дополнительный материал. Весь этот материал повторен и расширен в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.
В начале 10 класса учащиеся подробно изучают данный материал. На изучение данного материала отводится 15 параграфов, а по времени - 18 часов.
В §1 и в §2 учащиеся знакомятся с числовой окружностью и с определением тригонометрических функций. Автор выделяет числовую окружность в качестве самостоятельного объекта изучения. Школьникам напоминается материал о вычислении длин дуг окружностей.
Числовая окружность на плоскости рассматривается в §3.
Для изучения числовой окружности автор предлагает игровые моменты.
Изучение самих функций начинается только с 9 параграфа. Перед этим вводятся определения синуса, косинуса , тангенса и котангенса. Первой функцией предлагается y=sinx. Параграф начинается с формулирования свойств функции. После чего предлагается построить график данной функции на отрезке [0; . Затем добавляют к построенному графику симметричную ему относительно начала координат линию. Получили график на отрезке [; . Далее предлагается построить график функции на отрезке [; 3. В результате получили то же самое, что и на отрезке [; .
В следующем параграфе предлагается к рассмотрению функцию y=cosx. Ее график получается из графика функции y=sinx сдвигом на в лево. После чего рассматриваются свойства функции.
В §15 учащимся предлагается функция y=tgx и y=сtgx. Отмечаются их свойства. Графики строятся так же как в учебниках Алимова.
Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.
Известно, что методы высшей математики позволяют строить любой график. Однако знаний тех элементов высшей математики, которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно. С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма интересных может быть построено средствами исключительно элементарной математики. Наиболее трудные из этих графиков требуют для своего построения хорошего знания многих разделов элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих знаний. Построение графиков средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разделам элементарной математики.
§3.1. Параллельный перенос.
п 3.1.1 Сдвиг оси х-ов.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
