Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач

b>Линейные диаграммы используются преимущественно в тех задачах, в которых искомое находится в зависимости от данных, выразимой с помощью арифметических операций сложения (вычитания) и умножения (деления). В курсе алгебры представлены два основных вида задач (текстовых), решаемых с помощью линейных диаграмм: 1) задачи, в которых даны отношения значений величин и отражена одна ситуация в данный момент времени; 2) задачи, в которых даны отношения значений величин и отражены две ситуации - первоначальная и конечная. При решении задач первого вида линейная диаграмма выступает в качестве статической геометрической модели, то есть в процессе решения задачи она не изменяется и выполняет только иллюстративную функцию. Наибольший интерес с точки зрения использования линейных диаграмм в курсе алгебры представляют задачи второго вида. Построение линейной диаграммы при решении этих задач проходит в два приема: в начале строится диаграмма, отражающая первоначальное (конечное) состояние объектов, а затем согласно условию она изменяется таким образом, чтобы вновь полученное изображение (диаграмма) отражала конечное (первоначальное) состояние объектов. Изменение построенной диаграммы осуществляется путем действий над отрезками (сложения и умножения на число) [9].

Так как роль первого этапа методики обучения работе с визуальными моделями состоит в том, чтобы выделить основные понятия и объекты, участвующие в построении модели, то, в данном случае необходимость в нем отпадает. Связанно это с тем, что для построения и работы с линейными диаграммами используются отрезки и операции с ними, что изучается на протяжении всего школьного курса математики.

Второй и третий этапы не нужно явно отделять друг от друга: обучение моделированию происходит непосредственно в процессе решения задач, но в начале нужно провести методическую работу для формирования умений построения визуальной модели. Эта работа заключается в акцентировании внимания на существенных сторонах в построении визуальной модели, которые отражают суть задачи. А именно, рассмотреть случаи, в которых длина отрезка может выбираться произвольно, и случаи когда длина отрезка зависит от каких-то условий. Необходимо также провести различие между задачами первого и второго вида. Для задач второго вида показать, что мы идем от одного состояния к другому, при этом посредством арифметических операций над отрезками, соответствующих условию, получаем из первоначальной диаграммы другую, иллюстрирующую данное состояние. Приведем пример.

Задача 1. На одном овощехранилище было втрое больше картофеля, чем на другом. С первого вывезли 450 кг картофеля, а на второе привезли 120 кг картофеля, после чего на обоих овощехранилищах картофеля стало поровну. Сколько килограмм картофеля было на каждом овощехранилище первоначально?

Как было отмечено выше решение задачи при использовании диаграмм, осуществляется в три этапа.

Первый этап. После прочтения задачи учащиеся отвечают на вопросы:

1. Сколько ситуаций рассматривается в задаче? (Две: первоначальная и конечная).

2. С какой ситуации следует начать построение линейной диаграммы? (Можно начать с первой ситуации и перейти от нее ко второй, а можно сначала построить диаграмму конечной ситуации и перейти от нее к первоначальной. Рассмотрим первый вариант).

3. Что будет представлять собой первоначальная диаграмма? (Два отрезка, один из которых втрое больше другого). После этого ученики строят первоначальную диаграмму, далее рассуждения продолжаются.

4. Как перейти на диаграмме от первой ситуации ко второй? (Надо из первого отрезка вычесть второй условно изображающий 450 кг, а ко второму прибавить отрезок изображающий 120 кг).

5. Произвольно ли берутся отрезки изображающие 120 и 450 килограмм? (Нет, следует учитывать, что вновь полученные отрезки должны быть равны, так как на обоих хранилищах картофеля стало поровну).

Выполнив действия с отрезками, учащиеся получают диаграмму конечной ситуации. Первый этап работы над задачей заканчивается обозначением отрезков и оформлением записей на чертеже (рис.1).

Второй этап. Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка. Ответ можно получить арифметически, не составляя уравнение, иногда его можно «усмотреть» на чертеже. С помощью диаграммы можно составлять различные уравнения к задаче, то есть решать её разными способами.

Третий этап. Перевод с геометрического языка на естественный осуществляется автоматически, в результате переноса терминологии. В начале следует сделать подробную запись с указанием того, что обозначает каждый отрезок. Постепенно можно переходить к краткой записи, так как некоторые факты видны на чертеже.

На мотивационном этапе формирования геометрического метода основанного на использовании линейных диаграмм целесообразно предлагать решить задачу двумя методами: алгебраическим и геометрическим. При этом следует подбирать задачу таким образом, чтобы её решение с помощью линейной диаграммы было более рациональным по сравнению с решением без чертежа.

Далее следует рассмотреть класс задач, для которых применим данный метод визуализации. При этом сюжеты задач должны быть разными, для того чтобы данный метод не ассоциировался с каким-то определенным видом сюжетных задач. При этом сложность задач, сложность построения модели должна повышаться. Нужно также указывать на модели различных сюжетных задач, в случае если они сходны, так как это формирует представление об универсальности данного метода, и вообще о моделировании как общего математического метода [12, 21].

Данный метод визуализации применим для относительно простых задач, тем не менее, его значимость достаточно высока. Он обогащает арсенал средств, которыми может пользоваться ученик при решении задач, а задачи, в которых данный метод применим, довольно часто возникают в качестве подзадачи на этапе анализа при решении более сложных задач. Часто такие задачи бывают на всевозможных математических турнирах, где требуется их решить за минимальное время. Например: «Кирпич весит 2 кг и еще пол кирпича. Сколько весит кирпич?» или «"То" да "это", да половина "того" да "этого"- сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?». Данный метод может оказать в подобном случае существенную помощь. Кроме того, данный метод является эффективным средством как при обучении решению задач на проценты, так и при обучении понятию процента как части от целого.

Линейные диаграммы могут использоваться на разных этапах решения задачи. При анализе текста она помогает учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения, при поиске способа решения - составить уравнение или арифметическое выражение. На этапе анализа решения задачи можно найти другое (иногда более рациональное) решение. Оно может использоваться для проверки ответа, полученного алгебраическим способом.

В задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно для наглядности представить такое произведение в виде площади прямоугольника, то есть в виде двумерной диаграммы. Двумерная диаграмма может состоять из одного или нескольких прямоугольников.

Подготовительная работа к моделированию текстовых задач в данном случае, как и при использовании линейных диаграмм не требуется, так как используемые объекты и методы работы с ними ученикам достаточно хорошо известны и не представляют особой сложности.

Второй этап в методике обучения использованию двумерных диаграмм можно реализовать, опираясь на линейные диаграммы. Лучше всего перейти к моделированию тех задач, которые предварительно решены алгебраическим методом. Это связанно с тем, что ученики знают структуру задачи, установлены связи между данными и искомым, что делает построение модели более естественным. Кроме того, такой подход позволяет сравнить два способа решения задачи.

Перед построением геометрической модели, нужно установить связь геометрических преставлений в виде двумерных диаграмм с геометрическими представлениями в виде линейных диаграмм. Для этого, необходимо заметить учащимся, что в случае использования линейных диаграмм отрезками изображались значения одной и той же величины. Эти отрезки располагались на параллельных прямых. В задачах, где рассматривается произведение двух величин, отрезками будем изображать значения двух разных величин и отрезки будем располагать на двух перпендикулярных прямых так, чтобы они были смежными сторонами прямоугольника. Тогда площадь прямоугольника будет соответствовать произведению этих величин, а полученное изображение будем называть двумерной диаграммой. Приведем пример.

Задача 2. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки.

Алгебраический метод приводит к уравнению:

где - скорость реки. Решив уравнение, находим .

Рассмотрим геометрический метод. Так как в данной задаче рассматривается равномерное движение, то пройденный лодкой путь можно представить в виде произведения скорости и времени движения.

Пусть сторона АВ прямоугольника АВСD изображает скорость лодки по течению реки (рис. 2). Тогда AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через скорость течения реки, а через - время движения лодки по течению реки, то и .

Площадь прямоугольника АВСD (S1) будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки: .

Далее следует предоставить учащимся самим построить двумерную диаграмму движения лодки против течения реки. Необходимо акцентировать их внимание на следующих моментах: прямоугольники нужно изображать вместе, чтобы они составляли одну фигуру, причем высоты этих прямоугольников должны быть равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки, целесообразнее высоту прямоугольников, изображающую время, сделать общей, тогда получаем фигуру в виде прямоугольника, площадь которого легко найти.

Далее продолжаем решение. Пусть отрезок BE изображает скорость лодки против течения реки (BE берем меньше АВ), тогда отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки: .

Площадь прямоугольника BEFC соответствует пути пройденному протии течения реки: . Площадь прямоугольника ABFC определяет весь путь пройденный лодкой: .

В то же время, , , , тогда имеем: 60=30, , 35:2 = 17,5 - скорость движения лодки по течению, 17,5 - 15 = 2,5 - скорость течения реки.

Использование двумерных диаграмм в курсе алгебры опирается на следующую теорему: если через произвольную точку E диагонали AC прямоугольника ABCD проведены прямые FM и HK параллельные соответственно AB и AD, образовавшиеся при этом прямоугольники HBME и FEKD будут равновелики, прямоугольники ABMF и AHKD тоже равновелики, кроме того отрезки FH, DB и KM параллельны.

Приведем пример решения задачи с использованием данной теоремы.

Задача 3. Один наборщик работал над выполнением заказа 9 часов. После чего закончить работу было поручено второму наборщику, который закончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они выполнили бы работу за 6 часов 40 минут. За сколько времени каждый выполнил бы работу, работая отдельно?

Работа, выполненная наборщиком, равна произведению его часовой выработки на число выработанных им часов и, следовательно, может быть представлена площадью прямоугольника.

Проведем горизонтальный отрезок (рис. 3) AB произвольной длины (почему мы можем длину выбирать произвольно?), пусть он изображает часовую выработку обоих наборщиков вместе. Перпендикулярно ему проведем два луча AA1 и BB1. Единичный отрезок будет обозначать один час работы. Отметим время на каждом из этих лучей, начиная от нуля. На луче АА1 отметим точку М, указывающую 6 часов 40 минут и проведем отрезок МР. Площадь прямоугольника АМРВ обозначает количество всей работы. Но эта работа выполнялась наборщиками поочередно, поэтому теперь следует построить два прямоугольника изображающих соответственно работу каждого наборщика отдельно. Оба прямоугольника вместе должны быть равновелики прямоугольнику АМРВ. Известны высоты этих прямоугольников (чему они равны?). Сумма оснований искомых прямоугольников должна составлять отрезок AB (почему?), так как часовая выработка при совместной работе двух наборщиков равна сумме часовых выработок каждого из них.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10