Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач

адача сводится к разбиению отрезка AB на два таких отрезка АС и СВ, чтобы сумма площадей двух прямоугольников ACLK и CBRQ была равна площади прямоугольника АМРВ.

На луче BB1 отметим точку Т (ВТ=АК) изображающую 9 часов, на луче АА1 отметим точку S (AS=BR) изображающую 4 часа 48 минут. Проведем отрезок ST. Точка N пересечения отрезков ST и МР определяет размеры MN и NP оснований искомых прямоугольников. Найденные прямоугольники ACLK и CBRQ равновелики прямоугольнику АМРВ.

Для того чтобы получить ответ задачи достаточно провести прямую AN до пересечения в точке D с лучом BB1, и прямую BN до пересечения в точке Е с лучом АА1. Длины отрезков будут искомыми величинами. Ответ 12 и 15.

Если построения выполнить на миллиметровой бумаге, взяв 1 мм за час, то данный ответ можно считать обоснованным. Если чертеж выполняется от руки не на миллиметровой бумаге и без масштаба, то для получения ответа требовались бы вычисления использующие подобие трех пар треугольников: SMN и TPN, ADB и ANC, BEA и BNC. Откуда MN:MP = MS:PT. Но

MS=AM - AS =6 ч 40 мин - 4ч 48 мин = 112 мин,

PT=BT - PB = 9ч - 6ч 40 мин =140 мин.

Следовательно, MN:MP = 4:5. Далее BD:CN = AB:AC = MN:MP = 9:4. Отсюда BD = = 6 ч 40 мин =15 ч. Аналогично, АЕ = 12 часов.

Во всяком случае, решение мы получаем благодаря решению геометрической задачи.

Решение задач с помощью изложенного метода опирается на достаточно сложный геометрический материал. Но методика обучения данному виду геометрического моделирования задач не включает его в себя. Сама методика предполагает формирование у учащихся представлений о связи двумерных диаграмм с величинами, которые можно представить в виде произведения двух других (например, путь, скорость и время), и умений работать с диаграммой. Все это формируется в процессе моделирования уже разобранных (решенных алгебраическим методом) задач с опорой на соответствующий материал о линейных диаграммах. Весь геометрический материал необходимый для работы с диаграммами представляет собой приведенную выше теорему, и три построения, которые обосновываются с помощью данной теоремы. Например, в задаче 3 при нахождении двух прямоугольников равновеликих данному используется такое построение. Весь геометрический материал можно изучить в курсе геометрии в теме «Площади». Задачи для обучения моделированию с помощью двумерных диаграмм нужно подобрать так, чтобы среди них были модели, использующие все построения. В начале задачи должны быть простыми, не использующими построения, например, задача 1 и усложнятся в последствии.

С помощью двумерных диаграмм можно составить разные уравнения одной и той же задачи, это помогает найти более рациональный путь решения. Кроме того, она позволяет наглядным образом обосновывать полученные уравнения, позволяет наглядно представить процесс, описанный в задаче.

Как мы видели на примере задачи 3, её, при выполнении соответствующих требований, можно решить благодаря только геометрическим построениям. Существует класс задач на совместную работу, которые можно решить благодаря только построениям в системе координат. Приведем пример одной из таких задач.

Задача 4. Бассейн заполняется водой через одну трубу за 4 часа, а через другую вода может вытечь за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обоих труб?

Рассмотрим прямоугольную систему координат (рис. 4). Пусть отрезок OD изображает объем бассейна, тогда отрезок ОА является графиком наполнения бассейна через первую трубу, отрезок ОВ графиком вытекания воды из бассейна через вторую трубу. Графиками являются отрезки, так как объем воды, протекающий через трубу, прямо пропорционален времени. За 4 часа первая труба одна наполнит весь бассейн. Через вторую трубу за это время вытечет воды объемом, изображением которого служит отрезок МК. Объем воды, оставшейся в бассейне изображается отрезком АК=АМ - МК. Отложим отрезок МР = АК, проведем через точки О и Р прямую до пересечения С с прямой, изображающей объем. Тогда ОС является графиком наполнения бассейна при одновременном действии двух труб. Из рисунка видно, что через 12 часов бассейн наполнится. Условия, при которых мы можем принимать результат решения задачи без дополнительной проверки, описаны ниже и требуют отдельного рассмотрения с учениками в процессе обучения решению задач подобными методами.

То, что графиками указанных зависимостей будут отрезки обоснованно в ходе решения задачи. Принцип построения данных графиков также прост, для этого нужно соединить начало координат и точку, которая соответствует времени выполнения работы. Основной вопрос как построить результирующий график и почему он соответствует верному результату. Ответ на этот вопрос раскрывает смысл метода решения задач данным способом. Для приведенной выше задачи нужно построить отрезок МР, который равен объему совместной работы труб, в то время как первая труба заполнит объем соответствующий отрезку АК, через вторую трубу вытечет объем соответствующий МК. По построению МР=АМ - МК. Значит график совместной работы будет проходить через точку Р так как графиком является отрезок проходящий через начало координат, то теперь мы можем однозначно его построить.

Для того, чтобы решать задачи с помощью данного метода, нужно уметь еще строить результирующий график совместной работы. Работа может выполняться ее участниками в различном направлении (как «трубы» в предыдущей задачи) или в одном направлении.

Приведем пример задачи, где работа выполняется в одном направлении.

Задача 5. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей - за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Пусть отрезок OD (рис. 5) изображает весь объем, тогда отрезок OC график работы крана с холодной водой, отрезок DB - с горячей. Пусть M точка пересечения этих графиков, из рисунка видно, что к моменту времени соответствующему точке M, оба крана, работая совместно, выполнят весь объем работы. Тогда проведем отрезок BK через точку M перпендикулярно оси абсцисс, так как к моменту времени B (или К) весь объем работы будет выполнен, то отрезок OB (или DK) будет графиком совместной работы. OP график, соответствующий работе по вытеканию воды. Из графиков OB и OP, с помощью метода описанного в предыдущей задаче получаем результирующий график. Из рисунка видно, что ванна заполнится через 5 минут.

Данный метод дает точный ответ, не требующий вычислений только в том случае, если выбран масштаб и все данные и ответ к задаче являются числами, находящимися в точках которые соответствуют целому числу единичных отрезков.

Данный метод используется для решения достаточно узкого класса задач, в которых дано время, затрачиваемое на работу каждым субъектом в отдельности, и требуется найти их общую производительность. Алгоритм арифметического решения этих задач прост: выражается количество работы, выполняемой за час одним субъектом, затем результаты всех складываются - это будет общая производительность. Графическая модель помогает представить наглядно решение задачи, кроме того, она подводит к графическому методу решения более сложных задач, который будет рассмотрен в следующем параграфе.

2.2. Методика использования визуальных моделей при обучении решению задач на движение

Рассматриваемый способ визуализации представляет собой построение графической модели в координатной плоскости. В координатной плоскости по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат соответствующий путь, так как рассматриваются задачи на равномерное прямолинейное движение, то графиками движения объектов, указанных в задачах, будут прямые.

Задачи на равномерное прямолинейное движение можно разделить в зависимости от их графической модели на два типа: те, графические модели которых, непосредственно выражают зависимость между данными и искомыми, и те, чьи модели указывают на упомянутую зависимость, помогают проследить логику построения математической модели.

Задачи первого типа в своей графической модели содержат зависимости между данными и искомым в виде геометрических связей (подобия и равенства треугольников), которые выражают данную зависимость, благодаря чему (из одних лишь геометрических соображений) можно перейти к математической модели задачи.

Из любой графической модели, благодаря только геометрическим соображениям, можно перейти к математической модели, но это не всегда целесообразно. Осуществить указанный переход можно потому, что условия задач и их графические модели изоморфны, но иногда рассуждения с помощью геометрических образов - это не более чем переход от одной терминологии к другой. Такой переход не всегда целесообразен, так как не всегда приводит к элементарной геометрической задаче, поэтому данные задачи выделяются в отдельный тип.

Первый тип задач является эстетически более привлекательным, так как в способе решения есть элемент неожиданности: из геометрических соображений мы получаем решение задачи на движение. Причем такой способ никак не просматривается из условия самой задачи, что и является фактором неожиданности [21]. Такие рассуждения повышают интерес учеников к математике, так как раскрывают связи между различными ее областями. Кроме того, решение, полученное данным способом, будет более лаконичным, простым и наглядным. То есть для решения мы используем более короткий путь, сохраняя при этом строгость рассуждений; все это и делает решения задач данного типа эстетически более привлекательными.

Выше было сказано, что условия задач и их графические модели изоморфны. Поясним, в чем состоит данный изоморфизм. Во-первых, всякое равномерное прямолинейное движение можно описать с помощью линейной функции, и всякая линейная функция может трактоваться как график равномерного прямолинейного движения. Во-вторых, любой объект, указанный в задаче, имеет свой геометрический образ в графической модели: время -- отрезок на оси абсцисс, расстояние -- отрезок на оси ординат, моменты встречи -- точки пересечения графиков, скорость -- угол наклона графика. Таким образом, всякое изменение условий влечет за собой изменение графической модели и наоборот.

Для того, что бы данный способ визуализации соответствовал формуле наглядности, данной Болтянским (наглядность = изоморфизм + простота), недостает только простоты графической модели. Простота в данном случае понимается как оперирование понятными образами, как осознание указанного изоморфизма. Все это достигается с помощью решения поставленных задач с использованием определенной методики.

Подготовительная работа при обучении моделированию текстовых задач на движение заключается в формировании умений переводить условие задачи на язык графиков и умений «читать» графики.

Мы работаем в системе координат «время-путь». Первой структурной единицей в системе умений и понятий, необходимой для овладения этим методом, является понятие линейной функции и умение интерпретировать ее как зависимость пути от времени равномерно и прямолинейно движущегося объекта. То есть ученик должен уметь выбрать точку отсчета и положительное направление осей координат, понимать, как отражается скорость на поведении графика.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10