Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач

осле разбора серии относительно простых заданий нужно перейти к более сложным, при этом нужно подобрать некоторые задания таким образом, чтобы их можно было решить другим методом, причём использование этого метода должно в некоторых случаях давать более рациональное решение. Это будет способствовать осознанному выбору методов решения, заставит ученика рассуждать на всех этапах решения задачи, поспособствует более глубокому осознанию методов.

Данный метод позволяет решить более широкий класс задач с параметрами, чем приведенные выше методы. Поэтому и работа по закреплению умений строить и работать с графическими моделями здесь будет более обширной.

Все изложенные выше методы предполагают у учеников наличие умений исследовать функции: определять монотонность, четность, ограниченность, промежутки знакопостоянства, находить экстремумы. Решение задач с параметрами графическими методами сводится в основном к применению одного из вышеприведенных или к применению комбинации из данных методов, где отдельный метод применяется для решения возникающей подзадачи. Владение данными методами и умение их рационально применять во многом определяют успешность решения задачи. Даже если указанные методы не дают ожидаемого результата, визуальная модель поможет глубже осознать и понять задачу и может подсказать путь решения.

§ 3. Описание и анализ результатов опытно-экспериментальной работы

Опытное преподавание проводилось в в 8-б классе школы № 21 г. Кирова. Было проведено 5 уроков по теме «Решение задач на равномерное прямолинейное движение с использованием графических моделей».

На первом уроке были рассмотрены следующие вопросы: значения коэффициентов для графиков линейной функции, связь между линейной функцией и равномерным движением, методы задания с помощью линейной функции равномерного движения, методы построения графических моделей задач на движение.

Главной задачей в изучении первого вопроса была актуализация знаний о линейной функции для последующей интерпретации их в терминах равномерного прямолинейного движения. Коэффициент при свободной переменной линейной функции является тангенсом угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс, но ученики 8-го класса не владеют функциональным определением тангенса. Тем не менее, был рассмотрен геометрический смысл данного коэффициента для того определения, которым владеют ученики, с учетом возможной отрицательности коэффициента. Так же был рассмотрен геометрический смысл свободного члена и установлено, что его изменению соответствует параллельный перенос графика на вектор равный разности первоначального и конечного значения свободного члена. Можно было сразу раскрыть связь линейной функции и равномерного движения, но так как весь метод в целом предполагает переход к геометрической модели при решении задач, то такой подход обуславливается необходимостью установления связи между геометрической и физической трактовкой задачи.

При изучении второго вопроса учащимся была поставлена задача выяснить, какое движение называется равномерным и прямолинейным? Ответ отражал суть рассматриваемого понятия, но формулировка была нечеткой. Поэтому было дано определение: «Тело движется равномерно, если за любые одинаковые промежутки времени оно проходит одинаковые промежутки пути, прямолинейно - если траектория движения тела прямая».

Опираясь на это определение, в результате совместной работы со школьниками было выяснено, что путь, пройденный телом, пропорционально зависит от времени. Значит, если в качестве независимой переменной взять время, то путь будет линейной функцией от времени.

Далее был раскрыт физический смысл коэффициентов линейной функции. Физический смысл коэффициента при переменной был рассмотрен на том же изображении, что и геометрический. Так как рассмотрение геометрического смысла этого коэффициента опиралось на прямоугольный треугольник, то на этом этапе перед учащимися встала задача дать геометрическую трактовку катетов этого треугольника (для того чтобы выяснить, что означает их отношение), если график изображен в координатной плоскости «время-путь». Ученики достаточно успешно справились с этой задачей, но была необходимость в некоторых уточнениях. Таким образом, мы выяснили, что с одной стороны коэффициент при неизвестном в линейной функции - это скорость, с другой - тангенс соответствующего угла.

Так как выяснение этого вопроса осуществлялось на графике проходящим через начало координат, то учащимся было рассказано, что данный рисунок подразумевает, что путь начал отсчитываться одновременно с началом отсчета времени и задан вопрос: «Что означает параллельный перенос данного графика?». Был дан достаточно полный ответ, но он копировал структуру построения предложения для рассмотренного случая. Пришлось перефразировать данное предложение, и учащимся был дан следующий ответ с опорой на соответствующее изображение: «Данный график предполагает, что на момент отсчета времени движущийся объект уже прошел какой-то путь». Далее с опорой на геометрическую трактовку было установлено, что этот пройденный путь соответствует свободному коэффициенту аналитического задания линейной функции.

Таким образом была установлена связь между равномерным движением и линейной функцией и раскрыта связь между геометрической и физической трактовкой линейной функции.

В итоге учащиеся знали, что всякому равномерному прямолинейному движению соответствует линейная функция. Кроме того, было установлено обратное, что всякая линейная функция может быть интерпретирована как равномерное движение, причем скорость этого движения равна тангенсу угла наклона графика к положительному направлению оси абсцисс или коэффициенту в аналитическом задании функции, а свободный член равен пройденному на момент начала отсчета пути.

Из всего сказанного выше непосредственно следовали методы задания линейной функции по словесному описанию движения. Было рассказано, что если нет дополнительных условий, то мы предполагаем, что путь отсчитывается одновременно с отсчетом времени, т. е. график движения проходит через начало координат. Значит, если нам дана точка координатной плоскости, где одно значение - время, а другое - путь, то для того, чтобы построить график достаточно через эти точки провести прямую, аналитическое задание которой опирается на геометрические соображения, изложенные выше. Если мы имеем скорость движения, то график - прямая с соответствующим тангенсом угла наклона, проходящая через начало координат. Если в условии оговорено дополнительно, что на момент отсчета времени тело прошло какой-то путь, то в предыдущих методах изменяется только то, что график проходит через начало координат. При рассмотрении этого вопроса закладывается умение выбирать точку отсчета. Кроме того, было сформулировано правило выбора положительного направления пути: «если в условии есть два объекта движущихся навстречу друг другу, и мы выбрали движение одного в положительном направлении, т. е. функция его пути является возрастающей, то другой движется в отрицательном направлении, значит, и скорость его имеет отрицательное значение, откуда следует, что угол наклона графика будет больше прямого (установлено при рассмотрении тангенса).

Далее все эти правила рассмотрены на конкретных примерах и учениками самостоятельно решены задачи по построению графиков.

Задачи содержали конкретные числовые значения, задающие линейные функции. Варьировались только условия, которым соответствовали изменения графиков, отрабатывалось умение выбирать положительное и отрицательное направление движения.

Ученики справились со всеми заданиями, они показались им легкими. Но основной целью урока было показать, что всякое равномерное прямолинейное движение имеет свою графическую модель, геометрия которой описывает все величины, и научить строить эту модель для конкретных данных. Цель была достигнута.

Второй урок предполагал выполнение работы по построению схематизированных моделей, т.е. таких моделей, построение которых не опирается на конкретные числовые данные, но отображает условия задачи. Так же на этом уроке были разобраны решения задач первого типа, причем графические модели этих задач были построены на первом этапе урока.

Перейти к схематизированным моделям после построения моделей для конкретных случаев оказалось достаточно просто, так как на них ученики научились отображать основные моменты, а именно встречное движение двух объектов, поняли, как отражается на графике условие того, что один объект двигался быстрее другого. Только у некоторых учеников вызвало затруднение построить график одного объекта, движущегося на встречу другому. Это затруднение связанно с тем, что для конкретных числовых данных, точка на координатной плоскости, из которой начинал движение этот объект, была определена, а в данном случае ее нужно было изображать условно. Но эти трудности были преодолены и все ученики владели методами построения графических моделей задач. Далее была проведена работа по интерпретации моделей, ученики находили геометрические образы данных задачи, неизвестных, отвечали на разные вопросы об условиях задачи, ответы на которые можно получить, опираясь на графические модели.

Данная работа так же не вызвала у учащихся существенных затруднений, и поэтому мы перешли к решению задач.

Первой разобранной задачей была задача 6, приведенная во втором параграфе главы 2. Ученики предварительно на предыдущем этапе урока, строили ее модель, но модель они строили по условию, вопрос задачи, к тому моменту, не был сформулирован. После того как был поставлен вопрос, некоторые ученики высказали предположение, что данных задачи недостаточно. Но геометрическая модель указывала на обратное, так как величины данных однозначно определяли размеры отрезка, длину которого требовалось найти. На это было указано и поставлен вопрос, как найти длину этого отрезка. Вопрос вызвал затруднение, но после того как было предложено рассмотреть подобие треугольников, метод решения был найден за достаточно короткий период. Данное затруднение связанно с тем, что обращение к геометрии в подобных случаях является новым, даже неожиданным шагом. У учеников данный метод вызвал интерес, так как решение получено достаточно просто, хотя в начале высказывались предположения о том, что задача неразрешима. С другой стороны у них оставались сомнения в правильности результата в связи с тем, что если не обращаться к графической модели, то условия задачи кажутся недостаточными. Поэтому было рассмотрено решение, не опирающееся на графическую модель, для того, чтобы подтвердить результат и оценить преимущества данного способа.

После того как был рассмотрен второй метод решения, были сформулированы основные этапы решения задачи с применением графических моделей. К ним относятся: 1) построить графическую модель по условию задачи, 2) найти геометрический образ данных величин и записать их на рисунке, 3) найти геометрический образ неизвестного и перейти к соответствующей геометрической задаче 4) от геометрической задачи перейти к математической модели, 5) решить полученное уравнение получить ответ, 6) проверить результат, записать ответ.

После этого на данном уроке было решено еще две задачи. Ученики быстро справились с решением этих задач.

Как показали ответы у доски, решение было полным, описан каждый этап решения, осознано использовались результаты каждого этапа решения, все выводы по ходу решения были обоснованными. На этом уроке ученики успешно овладели методами решения задач первого типа. Это можно объяснить следующими причинами: так как класс математический, то он является достаточно сильным, и с геометрическими задачами, которые они получали на третьем этапе решения, они успешно справлялись; сам метод вызвал у них интерес, это было видно по динамике их работы; этапы решения применялись осознано, так как каждый этап естественно следует за предыдущим, все данные представлены в наглядном виде, что упрощает анализ задачи.

Целью третьего урока было закрепление умений и навыков в решении задач первого типа и обучение решению задач второго типа.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10